(1) $\lim_{x\to 0} (1+2x)^{\frac{3-\sqrt{9+x}}{x}}$を求めよ。 (2) $\lim_{x\to 0} \frac{x-\arctan x}{\sin^3 x}$を求めよ。ただし、l'Hopitalの定理を使用する。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x\to 0} (1+2x)^{\frac{3-\sqrt{9+x}}{x}}$を求めよ。

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x-\arctan x}{\sin^3 x}$を求めよ。ただし、l'Hopitalの定理を使用する。

2. 解き方の手順

(1)

$y = (1+2x)^{\frac{3-\sqrt{9+x}}{x}}$と置く。

$\log y = \frac{3-\sqrt{9+x}}{x} \log(1+2x)$

$\lim_{x\to 0} \log y = \lim_{x\to 0} \frac{3-\sqrt{9+x}}{x} \log(1+2x)$

これは$\frac{0}{0}$の不定形なので、l'Hopitalの定理を使う。

まず、$\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+2x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{2}{1+2x}}{1} = 2$.

次に、$\lim_{x\to 0} 3-\sqrt{9+x} = 0$.

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{3-\sqrt{9+x}}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{(3-\sqrt{9+x})(3+\sqrt{9+x})}{x(3+\sqrt{9+x})} = \lim_{x\to 0} \frac{9-(9+x)}{x(3+\sqrt{9+x})} = \lim_{x\to 0} \frac{-x}{x(3+\sqrt{9+x})} = \lim_{x\to 0} \frac{-1}{3+\sqrt{9+x}} = \frac{-1}{6}$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{3-\sqrt{9+x}}{x} \log(1+2x) = \lim_{x\to 0} (3-\sqrt{9+x}) \frac{\log(1+2x)}{x} = 0 \cdot 2 = 0$。これは間違い。

$\lim_{x\to 0} \frac{3-\sqrt{9+x}}{x} \log(1+2x) = \lim_{x\to 0} \frac{3-\sqrt{9+x}}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \log(1+2x) = 0$は使えない。

$\lim_{x\to 0} \frac{3-\sqrt{9+x}}{x} \log(1+2x)$を計算しなおす。l'Hopitalの定理を使う。

$\frac{d}{dx} (3-\sqrt{9+x}) \log(1+2x) = \frac{1}{2\sqrt{9+x}} \log(1+2x) + (3-\sqrt{9+x}) \frac{2}{1+2x}$

$\frac{d}{dx} x = 1$.

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{9+x}} \log(1+2x) + (3-\sqrt{9+x}) \frac{2}{1+2x}}{1} = \frac{\frac{1}{6} \cdot 0 + (3-3) \cdot 2}{1} = 0$.

したがって、$\lim_{x\to 0} \log y = 0$, よって$\lim_{x\to 0} y = e^0 = 1$.

(2)

$\lim_{x\to 0} \frac{x-\arctan x}{\sin^3 x}$

これは$\frac{0}{0}$の不定形なので、l'Hopitalの定理を使う。

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3\sin^2 x \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{3\sin^2 x \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{(1+x^2)3\sin^2 x \cos x}$

$\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{3\sin^2 x} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{3x^2} = \frac{1}{3}$

$\lim_{x\to 0} \frac{1}{(1+x^2) \cos x} = 1$

したがって、$\lim_{x\to 0} \frac{x-\arctan x}{\sin^3 x} = \frac{1}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1/3