(1) $\lim_{x\to 0} (1+2x)^{\frac{1}{3-\sqrt{9+x}}}$ を求めよ。 (2) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \tan^{-1}x}{\sin^3 x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x\to 0} (1+2x)^{\frac{1}{3-\sqrt{9+x}}}$ を求めよ。

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \tan^{-1}x}{\sin^3 x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた式を $y$ とおきます。

$y = \lim_{x\to 0} (1+2x)^{\frac{1}{3-\sqrt{9+x}}}$

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+2x)}{3-\sqrt{9+x}}$

$x \to 0$ のとき、$\ln(1+2x) \to \ln(1)=0$ であり、$3-\sqrt{9+x} \to 3 - \sqrt{9} = 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を利用できます。

分子を微分すると

$\frac{d}{dx} \ln(1+2x) = \frac{2}{1+2x}$

分母を微分すると

$\frac{d}{dx} (3-\sqrt{9+x}) = -\frac{1}{2\sqrt{9+x}}$

したがって、

$\ln y = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{2}{1+2x}}{-\frac{1}{2\sqrt{9+x}}} = \lim_{x\to 0} \frac{-4\sqrt{9+x}}{1+2x} = \frac{-4\sqrt{9}}{1} = -12$

したがって、

$y = e^{-12}$

(2)

$x \to 0$ のとき、$x - \tan^{-1}x \to 0$ であり、$\sin^3 x \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{x - \tan^{-1}x}{\sin^3 x} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3\sin^2 x \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{3\sin^2 x \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{(1+x^2)(3\sin^2 x \cos x)}$

さらにロピタルの定理を適用するために、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ を利用することを考えます。

$\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{(1+x^2)(3 \cos x)} = \lim_{x\to 0} (\frac{x}{\sin x})^2 \cdot \frac{1}{3(1+x^2)\cos x} = 1^2 \cdot \frac{1}{3(1)(1)} = \frac{1}{3}$

別の解法として、ロピタルの定理を2回適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{x - \tan^{-1}x}{\sin^3 x} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3\sin^2 x \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{3\sin^2 x \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{3(1+x^2)\sin^2 x \cos x}$

ここで、分子分母を$x^2$で割って

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{3(1+x^2) \frac{\sin^2 x}{x^2} \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3(1+x^2) (\frac{\sin x}{x})^2 \cos x} = \frac{1}{3(1)(1)^2 (1)} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $e^{-12}$

(2) $\frac{1}{3}$