直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ が与えられている。 (1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求める。 (2) 点 $P$ を通り、$l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数 $t$ による方程式を求める。 (3) $l$ と $l_1$ の交点の座標を求める。

## 問題7

1. **問題の内容**

直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ が与えられている。

(1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求める。

(2) 点 $P$ を通り、$l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数 $t$ による方程式を求める。

(3) $l$ と $l_1$ の交点の座標を求める。

2. **解き方の手順**

(1) 直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ の法線ベクトルは、直線の式の $x$ と $y$ の係数から求めることができる。法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{n} = (1, -2)$。

(2) 点 $P(2, -1)$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n} = (1, -2)$ の直線 $l_1$ の方向ベクトルは、$\vec{n}$ と直交するベクトルである。つまり、$\vec{v} = (2, 1)$ となる。

$l_1$ の媒介変数表示は、点 $P(2, -1)$ と方向ベクトル $\vec{v} = (2, 1)$ を用いて、以下のようになる。

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\begin{cases}

x = 2 + 2t \\

y = -1 + t

\end{cases}

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(3) $l$ と $l_1$ の交点を求める。$l_1$ の媒介変数表示を $l$ の方程式に代入する。

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(2 + 2t) - 2(-1 + t) + 1 = 0

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2 + 2t + 2 - 2t + 1 = 0

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5 = 0

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これは矛盾しているため、計算に間違いがある。

$l_1$の方向ベクトルは $l$の法線ベクトルに平行である必要がある。したがって$l_1$の方向ベクトルとして$(1, -2)$を使う。すると、$l_1$の媒介変数表示は

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\begin{cases}

x = 2 + t \\

y = -1 - 2t

\end{cases}

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となる。これを$l$の方程式に代入する。

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(2+t) - 2(-1-2t) + 1 = 0

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2+t+2+4t+1 = 0

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5t = -5

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t=-1

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これを$l_1$の媒介変数表示に代入する。

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\begin{cases}

x = 2 + (-1) = 1 \\

y = -1 - 2(-1) = 1

\end{cases}

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3. **最終的な答え**

(1) 法線ベクトル: $(1, -2)$

(2) 直線 $l_1$ の方程式:

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\begin{cases}

x = 2 + t \\

y = -1 - 2t

\end{cases}

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(3) 交点の座標: $(1, 1)$