三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$, $A = 15^\circ$, $C = 135^\circ$ のとき、外接円の半径$R$と辺$c$の長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$, $A = 15^\circ$, $C = 135^\circ$ のとき、外接円の半径$R$と辺$c$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和が180度であることから、角Bを求める。

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 15^\circ - 135^\circ = 30^\circ$

次に、正弦定理を用いて外接円の半径$R$を求める。正弦定理より、

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

であるから、

$2R = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{1/2} = 2\sqrt{2}$

$R = \sqrt{2}$

次に、再び正弦定理を用いて辺$c$の長さを求める。正弦定理より、

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

であるから、

$c = 2R \sin C = 2\sqrt{2} \sin 135^\circ = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$

3. 最終的な答え

外接円の半径 $R = \sqrt{2}$

辺の長さ $c = 2$