定積分 $\int_{0}^{1/2} \{(2x+1)e^x - 4\sqrt{ex}\} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1/2} \{(2x+1)e^x - 4\sqrt{ex}\} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を2つに分けます。

$\int_{0}^{1/2} (2x+1)e^x dx - \int_{0}^{1/2} 4\sqrt{ex} dx$

それぞれの積分を計算します。

最初の積分 $\int_{0}^{1/2} (2x+1)e^x dx$ は、部分積分を使って計算します。

$u = 2x+1$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2 dx$, $v = e^x$ です。

$\int (2x+1)e^x dx = (2x+1)e^x - \int 2e^x dx = (2x+1)e^x - 2e^x + C = 2xe^x + e^x + C$

よって、$\int_{0}^{1/2} (2x+1)e^x dx = [2xe^x + e^x]_{0}^{1/2} = (2\cdot\frac{1}{2}e^{1/2} + e^{1/2}) - (0 + e^0) = 2e^{1/2} - 1 = 2\sqrt{e} - 1$

次の積分 $\int_{0}^{1/2} 4\sqrt{ex} dx$ は、

$\int_{0}^{1/2} 4\sqrt{e}\sqrt{x} dx = 4\sqrt{e} \int_{0}^{1/2} \sqrt{x} dx = 4\sqrt{e} \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{1/2} = 4\sqrt{e} \cdot \frac{2}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2} = \frac{8}{3}\sqrt{e} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{3}\sqrt{e} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{3}\sqrt{\frac{e}{2}} = \frac{2\sqrt{2e}}{3}$

したがって、

$\int_{0}^{1/2} \{(2x+1)e^x - 4\sqrt{ex}\} dx = (2\sqrt{e} - 1) - \frac{2\sqrt{2e}}{3} = 2\sqrt{e} - 1 - \frac{2\sqrt{2e}}{3}$

これを整理すると、

$2\sqrt{e} - 1 - \frac{2\sqrt{2}\sqrt{e}}{3} = \sqrt{e} \left(2 - \frac{2\sqrt{2}}{3}\right) - 1 = \sqrt{e} \left(\frac{6 - 2\sqrt{2}}{3}\right) - 1$

3. 最終的な答え

$\frac{6-2\sqrt{2}}{3}\sqrt{e} - 1$

または、

$2\sqrt{e} - \frac{2\sqrt{2e}}{3} - 1$