定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} ( (2x+1)e^x - 4\sqrt{ex} ) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} ( (2x+1)e^x - 4\sqrt{ex} ) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を分割します。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} ( (2x+1)e^x - 4\sqrt{ex} ) dx = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (2x+1)e^x dx - \int_{0}^{\frac{1}{2}} 4\sqrt{ex} dx$

それぞれの積分を計算します。

最初の積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} (2x+1)e^x dx$ は、部分積分を使って計算します。

$u = 2x+1$ と $dv = e^x dx$ とおくと、$du = 2 dx$ と $v = e^x$ となります。

よって、

$\int (2x+1)e^x dx = (2x+1)e^x - \int 2e^x dx = (2x+1)e^x - 2e^x + C = (2x-1)e^x + C$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} (2x+1)e^x dx = [(2x-1)e^x]_{0}^{\frac{1}{2}} = (2(\frac{1}{2})-1)e^{\frac{1}{2}} - (2(0)-1)e^0 = (1-1)e^{\frac{1}{2}} - (-1)e^0 = 0 + 1 = 1$

次の積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} 4\sqrt{ex} dx$ を計算します。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} 4\sqrt{ex} dx = 4\sqrt{e} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x} dx = 4\sqrt{e} [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{e} (\frac{2}{3}(\frac{1}{2})^{\frac{3}{2}} - 0) = 4\sqrt{e} (\frac{2}{3} \frac{1}{2\sqrt{2}}) = \frac{4\sqrt{e}}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{e}\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2e}}{3}$

よって、

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} ( (2x+1)e^x - 4\sqrt{ex} ) dx = 1 - \frac{2\sqrt{2e}}{3}$

3. 最終的な答え

$1 - \frac{2\sqrt{2e}}{3}$