確率変数 $X$ と $Y$ が互いに独立であり、それぞれの確率分布が与えられています。 (a) $X + Y$ の期待値 $E[X+Y]$ を求めます。 (b) $X + Y$ の分散 $V[X+Y]$ を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ と $Y$ が互いに独立であり、それぞれの確率分布が与えられています。

(a) $X + Y$ の期待値 $E[X+Y]$ を求めます。

(b) $X + Y$ の分散 $V[X+Y]$ を求めます。

2. 解き方の手順

(a) $E[X+Y]$ を求める。

まず、$X$ と $Y$ のそれぞれの期待値 $E[X]$ と $E[Y]$ を計算します。

$E[X] = 0 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{4}{10} + 2 \cdot \frac{5}{10} = 0 + \frac{4}{10} + \frac{10}{10} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} = 1.4$

$E[Y] = 0 \cdot \frac{3}{10} + 1 \cdot \frac{6}{10} + 2 \cdot \frac{1}{10} = 0 + \frac{6}{10} + \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8$

期待値の線形性より、$E[X+Y] = E[X] + E[Y]$ なので、

$E[X+Y] = \frac{14}{10} + \frac{8}{10} = \frac{22}{10} = \frac{11}{5} = 2.2$

(b) $V[X+Y]$ を求める。

まず、$X$ と $Y$ のそれぞれの分散 $V[X]$ と $V[Y]$ を計算します。

$E[X^2] = 0^2 \cdot \frac{1}{10} + 1^2 \cdot \frac{4}{10} + 2^2 \cdot \frac{5}{10} = 0 + \frac{4}{10} + \frac{20}{10} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} = 2.4$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{24}{10} - (\frac{14}{10})^2 = \frac{24}{10} - \frac{196}{100} = \frac{240}{100} - \frac{196}{100} = \frac{44}{100} = \frac{11}{25} = 0.44$

$E[Y^2] = 0^2 \cdot \frac{3}{10} + 1^2 \cdot \frac{6}{10} + 2^2 \cdot \frac{1}{10} = 0 + \frac{6}{10} + \frac{4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 1 - (\frac{8}{10})^2 = 1 - \frac{64}{100} = \frac{100}{100} - \frac{64}{100} = \frac{36}{100} = \frac{9}{25} = 0.36$

$X$ と $Y$ が独立なので、$V[X+Y] = V[X] + V[Y]$ となります。

$V[X+Y] = \frac{44}{100} + \frac{36}{100} = \frac{80}{100} = \frac{4}{5} = 0.8$

3. 最終的な答え

(a) $E[X+Y] = \frac{11}{5} = 2.2$

(b) $V[X+Y] = \frac{4}{5} = 0.8$