確率変数$X$が$0 \le X \le 6$の範囲の値を取り、その確率密度関数が$f(x) = \frac{1}{6}$で与えられているとき、以下の問いに答えます。 (a) 確率変数$X$の期待値を求めます。 (b) 確率変数$X$の分散を求めます。

## 問3

1. 問題の内容

確率変数$X$が$0 \le X \le 6$の範囲の値を取り、その確率密度関数が$f(x) = \frac{1}{6}$で与えられているとき、以下の問いに答えます。

(a) 確率変数$X$の期待値を求めます。

(b) 確率変数$X$の分散を求めます。

2. 解き方の手順

(a) 期待値$E[X]$は、確率密度関数$f(x)$を用いて次のように計算できます。

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

この問題の場合、$f(x) = \frac{1}{6}$が$0 \le x \le 6$で定義されているので、積分範囲は0から6になります。

$E[X] = \int_{0}^{6} x \frac{1}{6} dx = \frac{1}{6} \int_{0}^{6} x dx = \frac{1}{6} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{6} = \frac{1}{6} \left( \frac{36}{2} - 0 \right) = \frac{1}{6} \times 18 = 3$

(b) 分散$V[X]$は、$E[X^2] - (E[X])^2$で計算できます。まず、$E[X^2]$を求めます。

$E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$

この問題の場合、$f(x) = \frac{1}{6}$が$0 \le x \le 6$で定義されているので、積分範囲は0から6になります。

$E[X^2] = \int_{0}^{6} x^2 \frac{1}{6} dx = \frac{1}{6} \int_{0}^{6} x^2 dx = \frac{1}{6} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6} = \frac{1}{6} \left( \frac{216}{3} - 0 \right) = \frac{1}{6} \times 72 = 12$

次に、$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$を計算します。

$V[X] = 12 - (3)^2 = 12 - 9 = 3$

3. 最終的な答え

(a) 期待値: 3

(b) 分散: 3

## 問4

1. 問題の内容

表が出る確率が0.3であるコインを20回投げたとき、表が8回出る確率を求めます。ただし、小数第5位を四捨五入します。

2. 解き方の手順

これは二項分布の問題です。二項分布の確率質量関数は次のようになります。

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n$は試行回数、$k$は成功回数、$p$は成功確率です。

この問題では、$n=20$, $k=8$, $p=0.3$です。

$P(X=8) = \binom{20}{8} (0.3)^8 (1-0.3)^{20-8} = \binom{20}{8} (0.3)^8 (0.7)^{12}$

$\binom{20}{8} = \frac{20!}{8!(20-8)!} = \frac{20!}{8!12!} = 125970$

$P(X=8) = 125970 \times (0.3)^8 \times (0.7)^{12} \approx 125970 \times 0.00006561 \times 0.0138412872 \approx 0.11439655$

小数第5位を四捨五入すると0.1144になります。

3. 最終的な答え

0. 1144

## 問5

1. 問題の内容

ある製品が不良品である確率は0.01です。この製品1000個の中の不良品の個数を$X$とするとき、以下の問いに答えます。

(a) $X$の期待値を求めます。

(b) $X$の分散を求めます。

2. 解き方の手順

これは二項分布の問題です。

$n=1000$, $p=0.01$です。

(a) 期待値$E[X]$は$np$で計算できます。

$E[X] = np = 1000 \times 0.01 = 10$

(b) 分散$V[X]$は$np(1-p)$で計算できます。

$V[X] = np(1-p) = 1000 \times 0.01 \times (1-0.01) = 1000 \times 0.01 \times 0.99 = 10 \times 0.99 = 9.9$

3. 最終的な答え

(a) 期待値: 10

(b) 分散: 9.9