ある製品が不良品である確率は $0.01$ である。この製品 $1000$ 個の中の不良品の個数を $X$ とするとき、以下の問いに答える。 (a) $X$ の期待値を求めよ。 (b) $X$ の分散を求めよ。

1. 問題の内容

ある製品が不良品である確率は $0.01$ である。この製品 $1000$ 個の中の不良品の個数を $X$ とするとき、以下の問いに答える。

(a) $X$ の期待値を求めよ。

(b) $X$ の分散を求めよ。

2. 解き方の手順

不良品である確率が一定なので、不良品の個数 $X$ は二項分布に従う。

$X \sim B(n, p)$

ここで、$n$ は試行回数、$p$ は成功確率（この場合は不良品である確率）である。

この問題では、$n = 1000$、$p = 0.01$ である。

(a) 二項分布の期待値 $E(X)$ は、$E(X) = np$ で求められる。

$E(X) = 1000 \times 0.01 = 10$

(b) 二項分布の分散 $V(X)$ は、$V(X) = np(1-p)$ で求められる。

$V(X) = 1000 \times 0.01 \times (1 - 0.01) = 1000 \times 0.01 \times 0.99 = 10 \times 0.99 = 9.9$

3. 最終的な答え

(a) $X$ の期待値は $10$ である。

(b) $X$ の分散は $9.9$ である。