確率変数 $X$ は $0 \le X \le 6$ の範囲の値を取り、その確率密度関数 $f(x)$ が $f(x) = \frac{1}{6}$ で与えられている。 (a) 確率変数 $X$ の期待値を求める。 (b) 確率変数 $X$ の分散を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ は $0 \le X \le 6$ の範囲の値を取り、その確率密度関数 $f(x)$ が $f(x) = \frac{1}{6}$ で与えられている。

(a) 確率変数 $X$ の期待値を求める。

(b) 確率変数 $X$ の分散を求める。

2. 解き方の手順

(a) 期待値 $E[X]$ は、確率密度関数 $f(x)$ を用いて次のように計算できる。

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$$

この問題では、$0 \le X \le 6$ の範囲で $f(x) = \frac{1}{6}$ であり、それ以外の範囲では $f(x) = 0$ であるから、積分範囲は $0$ から $6$ となる。

$$E[X] = \int_{0}^{6} x \cdot \frac{1}{6} dx = \frac{1}{6} \int_{0}^{6} x dx = \frac{1}{6} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6^2}{2} = \frac{36}{12} = 3$$

(b) 分散 $V[X]$ は、期待値 $E[X]$ を用いて次のように計算できる。

$$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$$

$E[X]$ は既に計算済みなので、$E[X^2]$ を計算する。

$$E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$$

この問題では、$0 \le X \le 6$ の範囲で $f(x) = \frac{1}{6}$ であり、それ以外の範囲では $f(x) = 0$ であるから、積分範囲は $0$ から $6$ となる。

$$E[X^2] = \int_{0}^{6} x^2 \cdot \frac{1}{6} dx = \frac{1}{6} \int_{0}^{6} x^2 dx = \frac{1}{6} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6^3}{3} = \frac{216}{18} = 12$$

したがって、

$$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 12 - 3^2 = 12 - 9 = 3$$

3. 最終的な答え

(a) 期待値: 3

(b) 分散: 3