表が出る確率が $0.3$ であるコインを $20$ 回投げたとき、表が $8$ 回出る確率を求めます。答えは小数第5位を四捨五入します。

1. 問題の内容

表が出る確率が $0.3$ であるコインを $20$ 回投げたとき、表が $8$ 回出る確率を求めます。答えは小数第5位を四捨五入します。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布の問題です。

$n$ 回の独立な試行において、各試行で事象 $A$ が起こる確率が $p$ であるとき、$n$ 回の試行で事象 $A$ が $k$ 回起こる確事は次の式で与えられます。

$P(X = k) = {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、

- $n$ は試行回数

- $k$ は事象 $A$ が起こる回数

- $p$ は事象 $A$ が起こる確率

- ${}_n C_k$ は二項係数で、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算されます。

この問題では、$n=20$、$k=8$、$p=0.3$ なので、表が $8$ 回出る確率は

$P(X=8) = {}_{20} C_8 (0.3)^8 (1-0.3)^{20-8} = {}_{20} C_8 (0.3)^8 (0.7)^{12}$

${}_{20} C_8 = \frac{20!}{8!12!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 125970$

したがって、

$P(X=8) = 125970 \times (0.3)^8 \times (0.7)^{12} = 125970 \times 0.00006561 \times 0.013841287201 \approx 0.10886779...$

小数第5位を四捨五入すると、$0.1089$ となります。

3. 最終的な答え

0. 1089