与えられた数式 $20 \cdot {}_8C_8 \cdot (\frac{3}{10})^8 \cdot (\frac{7}{10})^{12}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数式 $20 \cdot {}_8C_8 \cdot (\frac{3}{10})^8 \cdot (\frac{7}{10})^{12}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、二項係数${}_8C_8$ の値を計算します。定義より、

${}_nC_n = 1$ なので、${}_8C_8 = 1$ となります。

次に、与えられた式に${}_8C_8 = 1$ を代入します。

$20 \cdot {}_8C_8 \cdot (\frac{3}{10})^8 \cdot (\frac{7}{10})^{12} = 20 \cdot 1 \cdot (\frac{3}{10})^8 \cdot (\frac{7}{10})^{12}$

$= 20 \cdot (\frac{3}{10})^8 \cdot (\frac{7}{10})^{12}$

$= 20 \cdot \frac{3^8}{10^8} \cdot \frac{7^{12}}{10^{12}}$

$= 20 \cdot \frac{3^8 \cdot 7^{12}}{10^{20}}$

$= 20 \cdot \frac{3^8 \cdot 7^{12}}{(2 \cdot 5)^{20}}$

$= 20 \cdot \frac{3^8 \cdot 7^{12}}{2^{20} \cdot 5^{20}}$

$= 2^2 \cdot 5 \cdot \frac{3^8 \cdot 7^{12}}{2^{20} \cdot 5^{20}}$

$= \frac{3^8 \cdot 7^{12}}{2^{18} \cdot 5^{19}}$

ここで、

$3^8 = 6561$

$7^{12} = 13841287201$

$2^{18} = 262144$

$5^{19} = 19073486328125$

したがって、

$\frac{3^8 \cdot 7^{12}}{2^{18} \cdot 5^{19}} = \frac{6561 \cdot 13841287201}{262144 \cdot 19073486328125} = \frac{90824240948761}{500000000000000000000} \approx 0.0001816484819$

3. 最終的な答え

$\frac{3^8 \cdot 7^{12}}{2^{18} \cdot 5^{19}}$

約0.0001816484819