底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心を通る、底面とのなす角が45度の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さいほうの立体の体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心を通る、底面とのなす角が45度の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さいほうの立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

円柱の底面を$xy$平面とし、中心を原点とする。

円柱の高さ方向を$z$軸とする。

平面は、$y = z$で表される。$z \le 1$であるから、$y \le 1$である。

求める体積は、

$V = \int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} y dy dx$

となる。ここで、$y = z$の関係を使う。

$V = \int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} y dy dx = \int_{-1}^{1} \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_{0}^{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{-1}^{1} \frac{1}{2} (1-x^2) dx$

$V = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} (1-x^2) dx = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} \left[ (1-\frac{1}{3}) - (-1 - \frac{1}{3}(-1)^3) \right]$

$V = \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3} \right] = \frac{1}{2} \left[ 2 - \frac{2}{3} \right] = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$