与えられた数列の和が正しいことを証明します。 $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

1. 問題の内容

与えられた数列の和が正しいことを証明します。

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

2. 解き方の手順

この等式が数学的帰納法で正しいことを証明します。

(i) $n = 1$ の場合

左辺は $1 \cdot 2 = 2$

右辺は $\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (1+1) \cdot (1+2) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2$

したがって、$n = 1$ のとき等式は成り立ちます。

(ii) $n = k$ のとき等式が成り立つと仮定します。

すなわち、$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$ が成り立つと仮定します。

(iii) $n = k+1$ のとき等式が成り立つことを示します。

$n = k+1$ のとき、左辺は

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2)$

帰納法の仮定より、これは

$\frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)$

$= \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + \frac{3}{3}(k+1)(k+2)$

$= \frac{1}{3}(k+1)(k+2)[k+3]$

$= \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$

$n = k+1$ のときの右辺は

$\frac{1}{3}(k+1)(k+1+1)(k+1+2) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$

したがって、$n=k+1$ のときにも等式が成り立つことが示されました。

数学的帰納法の原理により、すべての自然数 $n$ に対して与えられた等式が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$