与えられた二次関数 $f(x) = x^2 + 2kx + 3k + 4$ と $g(x) = -x^2 + 4kx - 10$ について、以下の問題を解く。 (1) $0 \leq x \leq 2$ における $f(x)$ の最小値 $m$ を $k$ の範囲によって求め、$0 \leq x \leq 2$ を満たすすべての実数 $x$ について $f(x) > 0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。 (2) すべての実数 $x$ について $f(x) > g(x)$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求め、さらに、すべての実数 $x_1, x_2$ について $f(x_1) > g(x_2)$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $f(x) = x^2 + 2kx + 3k + 4$ と $g(x) = -x^2 + 4kx - 10$ について、以下の問題を解く。

(1) $0 \leq x \leq 2$ における $f(x)$ の最小値 $m$ を $k$ の範囲によって求め、$0 \leq x \leq 2$ を満たすすべての実数 $x$ について $f(x) > 0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

(2) すべての実数 $x$ について $f(x) > g(x)$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求め、さらに、すべての実数 $x_1, x_2$ について $f(x_1) > g(x_2)$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = (x+k)^2 - k^2 + 3k + 4$

軸は $x = -k$ である。

$0 \leq x \leq 2$ における最小値 $m$ は、軸の位置によって変わる。

(i) $-k > 2$ つまり $k < -2$ のとき、 $m = f(2) = 4 + 4k + 3k + 4 = 7k + 8$。よって、アイは -2, ウは7, エは8。

(ii) $0 \leq -k \leq 2$ つまり $-2 \leq k \leq 0$ のとき、 $m = f(-k) = -k^2 + 3k + 4$。よって、カは-1, キは3, クは4。

(iii) $-k < 0$ つまり $k > 0$ のとき、 $m = f(0) = 3k + 4$。よって、オは0, ケは3, コは4。

$0 \leq x \leq 2$ で常に $f(x) > 0$ となる条件は、この区間での最小値 $m$ が $m > 0$ となることである。

(i) $k < -2$ のとき、$7k + 8 > 0$ より $k > -8/7$。よって、$-8/7 < k < -2$。これは条件を満たさない。

(ii) $-2 \leq k \leq 0$ のとき、$-k^2 + 3k + 4 > 0$ より $k^2 - 3k - 4 < 0$。$(k-4)(k+1) < 0$ より $-1 < k < 4$。よって、$-1 < k \leq 0$。

(iii) $k > 0$ のとき、$3k + 4 > 0$ より $k > -4/3$。よって、$k > 0$。

したがって、$k > -1$ である。サシは -

1.

(2)

$f(x) > g(x)$ より、$x^2 + 2kx + 3k + 4 > -x^2 + 4kx - 10$。

$2x^2 - 2kx + 3k + 14 > 0$。

すべての $x$ で成り立つためには、判別式 $D < 0$ であればよい。

$D = (-2k)^2 - 4(2)(3k + 14) = 4k^2 - 24k - 112 = 4(k^2 - 6k - 28) < 0$

$k^2 - 6k - 28 < 0$

$k = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4(28)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 112}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{148}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{37}}{2} = 3 \pm \sqrt{37}$

$3 - \sqrt{37} < k < 3 + \sqrt{37}$

スは3、セソは

3

7.

$f(x_1) > g(x_2)$ が常に成り立つためには、$f(x)$ の最小値が $g(x)$ の最大値より大きければ良い。

$f(x) = x^2 + 2kx + 3k + 4 = (x+k)^2 -k^2 + 3k + 4$

$g(x) = -x^2 + 4kx - 10 = -(x - 2k)^2 + 4k^2 - 10$

$f(x)$ の最小値は $-k^2 + 3k + 4$

$g(x)$ の最大値は $4k^2 - 10$

$-k^2 + 3k + 4 > 4k^2 - 10$

$0 > 5k^2 - 3k - 14$

$5k^2 - 3k - 14 < 0$

$(5k + 7)(k - 2) < 0$

$-7/5 < k < 2$

タチは -7, ツは5, テは

2.

3. 最終的な答え

アイ: -2, ウ: 7, エ: 8

カ: -1, キ: 3, ク: 4

オ: 0, ケ: 3, コ: 4

サシ: -1

ス: 3, セソ: 37

タチ: -7, ツ: 5, テ: 2

(1)

k < -2 のとき m = 7k + 8

-2 ≤ k < 0 のとき m = -k^2 + 3k + 4

k ≥ 0 のとき m = 3k + 4

k > -1

(2)

3 - √37 < k < 3 + √37

-7/5 < k < 2