与えられた2変数多項式 $3x^2 + 2xy - y^2 - 11x + y + 6$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $3x^2 + 2xy - y^2 - 11x + y + 6$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた多項式を $x$ について整理します。

$3x^2 + (2y - 11)x - (y^2 - y - 6)$

次に、$x$ に関する2次式と見て、因数分解できるか試します。定数項 $-(y^2 - y - 6)$ を因数分解します。

$y^2 - y - 6 = (y - 3)(y + 2)$

よって、$3x^2 + (2y - 11)x - (y - 3)(y + 2)$ を因数分解することを考えます。

全体を因数分解できると仮定すると、

$(3x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になると考えられます。

$3x^2 + (2y - 11)x - (y - 3)(y + 2) = (3x + Ay + B)(x + Cy + D)$　とおきます。

$AC = -1$になるような数を見つける必要があります。 $(y-3)(y+2) = -(y-3)(y+2)$であるため、$A = (y-3)$ , $C=(y+2)$ もしくは、$A = (y+2)$ , $C=(y-3)$を考えます。

(i) $(3x + (y-3))(x - (y+2))$の場合

$3x^2 -3xy -6x + xy -y^2 -2y -3x +3y +6 = 3x^2 -2xy -9x -y^2 +y +6$

これは与えられた式とは異なるので、この場合はうまくいきません。

(ii) $(3x + (y+2))(x - (y-3))$の場合

$3x^2 -3xy +9x + xy -y^2 +3y +2x -2y +6 = 3x^2 -2xy +11x -y^2 +y +6$

xyの係数とxの係数が一致しないので、これも異なっています。

正しい組み合わせは

$3x^2 + (2y-11)x - (y^2 - y - 6) = (3x + a)(x+b)$ とおき、$a, b$ は $y$ の式とします。

$3x^2 + (2y-11)x - (y-3)(y+2) = (3x + y + 2)(x - y + 3)$と予想して展開します。

$(3x + y + 2)(x - y + 3) = 3x^2 - 3xy + 9x + xy - y^2 + 3y + 2x - 2y + 6 = 3x^2 - 2xy + 11x - y^2 + y + 6$

符号が違うので、$(3x - (y + 2))(x + (y - 3))$を試します。

$(3x - y - 2)(x + y - 3) = 3x^2 + 3xy - 9x - xy - y^2 + 3y - 2x - 2y + 6 = 3x^2 + 2xy - 11x - y^2 + y + 6$

符号がうまく合いました。

したがって、$3x^2 + 2xy - y^2 - 11x + y + 6 = (3x - y - 2)(x + y - 3)$

3. 最終的な答え

$(3x - y - 2)(x + y - 3)$