与えられた式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する。

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、同じ次数の項についてまとめる。ここでは、$a$について整理する。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = -a^2(b-c) + a(b^2-c^2) + bc^2 - cb^2$

$= -a^2(b-c) + a(b+c)(b-c) + bc(c-b)$

さらに、$(b-c)$ を共通因数としてくくり出す。

$-a^2(b-c) + a(b+c)(b-c) - bc(b-c) = (b-c)(-a^2 + a(b+c) - bc)$

次に、括弧の中を整理する。

$(b-c)(-a^2 + ab + ac - bc) = (b-c)[-a(a-b) + c(a-b)]$

$= (b-c)(a-b)(c-a)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

与えられた式を因数分解すると、

$-(a-b)(b-c)(c-a)$ または $(a-b)(b-c)(a-c)$ である。

答え：$(a-b)(b-c)(a-c)$