問題は2つあります。 (1) $(2x+y)^7$ の展開式における $x^2y^5$ の項の係数を求める問題。 (2) $(3x-y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求める問題。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $(2x+y)^7$ の展開式における $x^2y^5$ の項の係数を求める問題。

(2) $(3x-y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

二項定理より、$(2x+y)^7$ の一般項は

${}_7C_r (2x)^{7-r} y^r = {}_7C_r 2^{7-r} x^{7-r} y^r$

$x^2y^5$ の項の係数を求めるので、$7-r = 2$ となる $r$ を探します。$r = 5$ となります。

したがって、$x^2y^5$ の項は ${}_7C_5 (2x)^2 y^5 = {}_7C_5 4 x^2 y^5$ となります。

${}_7C_5 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ なので、係数は $21 \times 4 = 84$ です。

(2)

二項定理より、$(3x-y)^6$ の一般項は

${}_6C_r (3x)^{6-r} (-y)^r = {}_6C_r 3^{6-r} (-1)^r x^{6-r} y^r$

$x^3y^3$ の項の係数を求めるので、$6-r = 3$ となる $r$ を探します。$r = 3$ となります。

したがって、$x^3y^3$ の項は ${}_6C_3 (3x)^3 (-y)^3 = {}_6C_3 27 x^3 (-1)y^3 = -27 {}_6C_3 x^3y^3$ となります。

${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ なので、係数は $-27 \times 20 = -540$ です。

3. 最終的な答え

(1) 84

(2) -540