次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。 (1) $\frac{1}{1}, \frac{1}{1+2}, \frac{1}{1+2+3}, \frac{1}{1+2+3+4}, ...$ (2) $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{7}{16}, \frac{9}{32}, ...$

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。

(1) $\frac{1}{1}, \frac{1}{1+2}, \frac{1}{1+2+3}, \frac{1}{1+2+3+4}, ...$

(2) $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{7}{16}, \frac{9}{32}, ...$

2. 解き方の手順

(1) 数列の第 $k$ 項を $a_k$ とすると、$a_k = \frac{1}{1+2+...+k} = \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} = \frac{2}{k(k+1)}$ となります。

部分分数分解すると、$a_k = 2(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$ となります。

したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} 2(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 2\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

$= 2[(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})]$

$= 2(1 - \frac{1}{n+1}) = 2(\frac{n+1-1}{n+1}) = \frac{2n}{n+1}$

(2) 数列の第 $k$ 項を $b_k$ とすると、$b_k = \frac{2k-1}{2^k}$ となります。

したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2^k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{2^k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} = 2\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}$

ここで、$T = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + ... + \frac{n}{2^n}$ とおくと、

$\frac{1}{2}T = \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \frac{3}{2^4} + ... + \frac{n-1}{2^n} + \frac{n}{2^{n+1}}$

$T - \frac{1}{2}T = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}}$

$\frac{1}{2}T = \frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}} - \frac{n}{2^{n+1}} = 1 - \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}} = 1 - \frac{2+n}{2^{n+1}}$

$T = 2 - \frac{n+2}{2^n}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} = \frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^n}$

したがって、$S_n = 2(2 - \frac{n+2}{2^n}) - (1 - \frac{1}{2^n}) = 4 - \frac{2n+4}{2^n} - 1 + \frac{1}{2^n} = 3 - \frac{2n+3}{2^n}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2n}{n+1}$

(2) $3 - \frac{2n+3}{2^n}$