不等式 $|\sin a - \sin b| \leq |a - b|$ を示す問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|\sin a - \sin b| \leq |a - b|$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

平均値の定理を利用して証明します。

関数 $f(x) = \sin x$ を考えます。$f(x)$ はすべての実数 $x$ に対して微分可能であり、$f'(x) = \cos x$ です。

$a$ と $b$ を任意の実数とします。平均値の定理より、$a$ と $b$ の間に、ある実数 $c$ が存在して、

$\frac{f(a) - f(b)}{a - b} = f'(c)$

が成り立ちます。つまり、

$\frac{\sin a - \sin b}{a - b} = \cos c$

となります。この式を変形すると、

$\sin a - \sin b = (a - b) \cos c$

が得られます。両辺の絶対値を取ると、

$|\sin a - \sin b| = |(a - b) \cos c| = |a - b| |\cos c|$

となります。ここで、$|\cos c| \leq 1$ であることを利用すると、

$|\sin a - \sin b| = |a - b| |\cos c| \leq |a - b| \cdot 1 = |a - b|$

したがって、

$|\sin a - \sin b| \leq |a - b|$

が示されました。

3. 最終的な答え

$|\sin a - \sin b| \leq |a - b|$