次の数列の初項から第n項までの和を求めます。 (1) $\frac{1}{1}, \frac{1}{1+2}, \frac{1}{1+2+3}, \frac{1}{1+2+3+4}, ...$ (2) $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{7}{16}, \frac{9}{32}, ...$

1. 問題の内容

次の数列の初項から第n項までの和を求めます。

(1) $\frac{1}{1}, \frac{1}{1+2}, \frac{1}{1+2+3}, \frac{1}{1+2+3+4}, ...$

(2) $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{7}{16}, \frac{9}{32}, ...$

2. 解き方の手順

(1)

第k項 $a_k$は、$a_k = \frac{1}{1+2+3+...+k}$と表せる。

分母は初項1、末項k、項数kの等差数列なので、和は$\frac{k(1+k)}{2} = \frac{k(k+1)}{2}$

よって、$a_k = \frac{2}{k(k+1)} = 2(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

したがって、初項から第n項までの和は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} 2(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 2 \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

$= 2 [(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})] = 2(1 - \frac{1}{n+1}) = 2(\frac{n+1-1}{n+1}) = \frac{2n}{n+1}$

(2)

第k項 $a_k$は、$a_k = \frac{2k-1}{2^k}$と表せる。

初項から第n項までの和は、$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2^k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{2^k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} = 2 \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}$は初項$\frac{1}{2}$、公比$\frac{1}{2}$の等比数列の和なので、$\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} = 1 - (\frac{1}{2})^n$

$T = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + ... + \frac{n}{2^n}$

$\frac{1}{2}T = \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \frac{3}{2^4} + ... + \frac{n}{2^{n+1}}$

$T - \frac{1}{2}T = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}}$

$\frac{1}{2}T = (1 - (\frac{1}{2})^n) - \frac{n}{2^{n+1}}$

$T = 2(1 - (\frac{1}{2})^n) - \frac{n}{2^n}$

よって、$S_n = 2(2(1 - (\frac{1}{2})^n) - \frac{n}{2^n}) - (1 - (\frac{1}{2})^n) = 4 - \frac{4}{2^n} - \frac{2n}{2^n} - 1 + \frac{1}{2^n} = 3 - \frac{3}{2^n} - \frac{2n}{2^n} = 3 - \frac{2n+3}{2^n}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2n}{n+1}$

(2) $3 - \frac{2n+3}{2^n}$