不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ を $0 \le x < 2\pi$ の範囲で満たす $x$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ を $0 \le x < 2\pi$ の範囲で満たす $x$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式が成り立つためには $\cos x > 0$ が必要である。

したがって、$\cos x > 0$ より、$0 \le x < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ である。

次に、不等式の両辺を2乗する。

$\sin^2 x + \frac{1}{2} < \cos^2 x$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を代入する。

$1 - \cos^2 x + \frac{1}{2} < \cos^2 x$

$\frac{3}{2} < 2\cos^2 x$

$\cos^2 x > \frac{3}{4}$

$\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ または $\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$0 \le x < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$

$\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$

しかし、$\cos x > 0$ の条件があるので、$\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$ は解ではない。

したがって、$\cos x > 0$ と $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす範囲は、$0 \le x < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$ である。

3. 最終的な答え

$0 \le x < \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$