60人の生徒に2種類の本A, Bを読んだことがあるかを聞いたところ、Aを読んだ生徒が30人、Bを読んだ生徒が50人、AもBも読んでいない生徒が8人であった。このとき、以下の問いに答える。 (1) A, Bの少なくとも一方を読んだ生徒は何人か。 (2) 2種類とも読んだ生徒は何人か。 (3) Bだけ読んで、Aは読んでいない生徒は何人か。

1. 問題の内容

60人の生徒に2種類の本A, Bを読んだことがあるかを聞いたところ、Aを読んだ生徒が30人、Bを読んだ生徒が50人、AもBも読んでいない生徒が8人であった。このとき、以下の問いに答える。

(1) A, Bの少なくとも一方を読んだ生徒は何人か。

(2) 2種類とも読んだ生徒は何人か。

(3) Bだけ読んで、Aは読んでいない生徒は何人か。

2. 解き方の手順

(1)

全体集合を$U$とし、Aを読んだ生徒の集合を$A$, Bを読んだ生徒の集合を$B$とする。

$U = 60$

$n(A) = 30$

$n(B) = 50$

$n(\overline{A \cup B}) = 8$

A, Bの少なくとも一方を読んだ生徒の数は、$n(A \cup B)$で表される。

$n(A \cup B) = n(U) - n(\overline{A \cup B})$

$n(A \cup B) = 60 - 8 = 52$

したがって、A, Bの少なくとも一方を読んだ生徒は52人である。

(2)

2種類とも読んだ生徒の数は、$n(A \cap B)$で表される。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$52 = 30 + 50 - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 30 + 50 - 52 = 80 - 52 = 28$

したがって、2種類とも読んだ生徒は28人である。

(3)

Bだけ読んで、Aは読んでいない生徒の数は、$n(B \cap \overline{A})$で表される。

$n(B \cap \overline{A}) = n(B) - n(A \cap B)$

$n(B \cap \overline{A}) = 50 - 28 = 22$

したがって、Bだけ読んで、Aは読んでいない生徒は22人である。

3. 最終的な答え

(1) 52人

(2) 28人

(3) 22人