(1) $x^4 - 2x^3 + x - 2$ を整式 $P(x)$ で割ると商が $x^2 + 1$, 余りが $3x - 1$ であるとき、$P(x)$ を求める。 (2) $x = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x^4 - 2x^3 + x - 2$ を整式 $P(x)$ で割ると商が $x^2 + 1$, 余りが $3x - 1$ であるとき、$P(x)$ を求める。

(2) $x = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 割り算の基本の関係式から、

$x^4 - 2x^3 + x - 2 = P(x)(x^2 + 1) + (3x - 1)$

$P(x)(x^2 + 1) = x^4 - 2x^3 + x - 2 - (3x - 1)$

$P(x)(x^2 + 1) = x^4 - 2x^3 - 2x - 1$

$P(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 2x - 1}{x^2 + 1}$

筆算で割り算を実行すると、

$P(x) = x^2 - 2x - 1$

(2) $x = \sqrt{2} - 1$ より、 $x + 1 = \sqrt{2}$

両辺を2乗すると $(x+1)^2 = (\sqrt{2})^2$

$x^2 + 2x + 1 = 2$

$x^2 + 2x - 1 = 0$

ここで、$x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ると、

$x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 2x - 1)(x + 1) + 2$

$x^2 + 2x - 1 = 0$ なので、

$x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = 0 \cdot (x + 1) + 2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $P(x) = x^2 - 2x - 1$

(2) $x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = 2$