初項が20、公差が-3である等差数列$\{a_n\}$について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 第何項が初めて負の数になるか。 (2) 初項から第何項までの和が最大になるか。また、その和を求めよ。

1. 問題の内容

初項が20、公差が-3である等差数列$\{a_n\}$について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 第何項が初めて負の数になるか。

(2) 初項から第何項までの和が最大になるか。また、その和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第n項$a_n$が初めて負の数になる条件は、$a_n < 0$となる最小のnを求めることです。

等差数列の一般項は、$a_n = a_1 + (n-1)d$で表されます。

ここで、$a_1 = 20$, $d = -3$なので、$a_n = 20 + (n-1)(-3) = 20 - 3n + 3 = 23 - 3n$となります。

$a_n < 0$を解くと、$23 - 3n < 0$より、$3n > 23$なので、$n > \frac{23}{3} \approx 7.66$となります。

したがって、$n$は整数なので、$n = 8$のとき初めて負の数になります。

(2) 初項から第n項までの和$S_n$が最大になる条件は、$a_n > 0$かつ$a_{n+1} < 0$となるnを求めることです。

数列の項が正のうちは和は増加し、負になると和は減少します。

(1)より、$a_n = 23 - 3n$なので、$a_n > 0$を解くと、$23 - 3n > 0$より、$3n < 23$なので、$n < \frac{23}{3} \approx 7.66$となります。

$n$は整数なので、$n \le 7$です。

したがって、初項から第7項までの和が最大になります。

等差数列の和の公式は、$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$です。

$a_7 = 23 - 3 \cdot 7 = 23 - 21 = 2$なので、$S_7 = \frac{7}{2}(20 + 2) = \frac{7}{2} \cdot 22 = 7 \cdot 11 = 77$となります。

3. 最終的な答え

(1) 第8項

(2) 第7項までの和が最大で、その和は77