正の奇数の列を、第n群に(2n-1)個の数が入るように分ける。 (1) 第n群の最初の数をnの式で表せ。 (2) 第n群に入るすべての数の和を求めよ。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第n群に(2n-1)個の数が入るように分ける。

(1) 第n群の最初の数をnの式で表せ。

(2) 第n群に入るすべての数の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第n群の最初の数を求める。第n群の最初の数は、第(n-1)群までの項数の和に1を加えたものである。

第k群には(2k-1)個の数が入るので、第(n-1)群までの項数の和は、

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = n(n-1) - (n-1) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2$

したがって、第n群の最初の数は、$(n-1)^2 + 1 = n^2 - 2n + 1 + 1 = n^2 - 2n + 2$となる。

(2) 第n群に入るすべての数の和を求める。

第n群には(2n-1)個の数が入る。

第n群の最初の数は$n^2 - 2n + 2$であり、奇数の列なので、公差は2である。

したがって、第n群の最後の数は$n^2 - 2n + 2 + 2(2n-1-1) = n^2 - 2n + 2 + 2(2n-2) = n^2 - 2n + 2 + 4n - 4 = n^2 + 2n - 2$である。

第n群の和は、等差数列の和の公式より、

$\frac{(2n-1)(n^2 - 2n + 2 + n^2 + 2n - 2)}{2} = \frac{(2n-1)(2n^2)}{2} = (2n-1)n^2 = 2n^3 - n^2$

3. 最終的な答え

(1) $n^2 - 2n + 2$

(2) $2n^3 - n^2$