三角形ABCにおいて、$a=6$, $c=3\sqrt{2}$, $A=135^{\circ}$のとき、角Cの大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=6$, $c=3\sqrt{2}$, $A=135^{\circ}$のとき、角Cの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて$a^2$を求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

与えられた情報を使って、$\sin C$を計算します。正弦定理は以下の通りです。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

まず、正弦定理を用いてsin Cを求めます。

$\frac{6}{\sin 135^{\circ}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin C}$

$\sin 135^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、

$\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin C}$

$\frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin C}$

$12 \sin C = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$

$\sin C = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$\sin C = \frac{1}{2}$を満たす角Cは、$30^{\circ}$または$150^{\circ}$です。

しかし、$A = 135^{\circ}$なので、$C = 150^{\circ}$はありえません。（$A + C > 180^{\circ}$となるため）

したがって、$C = 30^{\circ}$となります。

3. 最終的な答え

30