全体集合 $U = \{x | x \text{は10以下の自然数}\}$、部分集合 $A = \{2, 3, 4, 8, 9\}$, $B = \{1, 3, 5, 8\}$ が与えられているとき、以下の集合を求めよ。 (1) $\overline{A}$ (Aの補集合) (2) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の共通部分) (3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の和集合) (4) $\overline{A \cap B}$ (AとBの共通部分の補集合) (5) $A \cap \overline{A}$ （AとAの補集合の共通部分）

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | x \text{は10以下の自然数}\}$、部分集合 $A = \{2, 3, 4, 8, 9\}$, $B = \{1, 3, 5, 8\}$ が与えられているとき、以下の集合を求めよ。

(1) $\overline{A}$ (Aの補集合)

(2) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の共通部分)

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の和集合)

(4) $\overline{A \cap B}$ (AとBの共通部分の補集合)

(5) $A \cap \overline{A}$ （AとAの補集合の共通部分）

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ を求める。

全体集合 $U$ は $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ である。

$\overline{A}$ は $U$ から $A$ の要素を取り除いた集合なので、$\overline{A} = \{1, 5, 6, 7, 10\}$となる。

(2) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求める。

$\overline{B}$ は $U$ から $B$ の要素を取り除いた集合なので、$\overline{B} = \{2, 4, 6, 7, 9, 10\}$となる。

$\overline{A} \cap \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合なので、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{6, 7, 10\}$となる。

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。

$\overline{A} \cup \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の要素をすべて集めた集合なので、$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$となる。

(4) $\overline{A \cap B}$ を求める。

$A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合なので、$A \cap B = \{3, 8\}$となる。

$\overline{A \cap B}$ は $U$ から $A \cap B$ の要素を取り除いた集合なので、$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$となる。

(5) $A \cap \overline{A}$ を求める。

これは、Aとその補集合の共通部分なので、共通の要素は存在しない。よって空集合となる。 $A \cap \overline{A} = \emptyset$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 5, 6, 7, 10\}$

(2) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{6, 7, 10\}$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(4) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(5) $A \cap \overline{A} = \emptyset$