(1) 点 $P(1, -2, 1)$ を含む等位面を求める。 (2) 点 $P(1, -2, 1)$ における単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を求める。

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1. 問題の内容

1. 関数 $\phi(x, y, z) = x^2y + 2xz$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

(1) 点 $P(1, -2, 1)$ を含む等位面を求める。

(2) 点 $P(1, -2, 1)$ における単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を求める。

2. ベクトル $\mathbf{A} = (x \sin y, 2x \cos y, 2z^2)$ の発散と回転を求める。

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2. 解き方の手順

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1. (1) 等位面を求める

* 等位面は、$\phi(x, y, z) = c$（$c$は定数）の形で表されます。

* 点 $P(1, -2, 1)$ を通る等位面を求めるには、$\phi(x, y, z)$ に $P$ の座標を代入して、$c$ の値を求めます。

$\phi(1, -2, 1) = (1)^2(-2) + 2(1)(1) = -2 + 2 = 0$

* したがって、点 $P(1, -2, 1)$ を含む等位面は、$\phi(x, y, z) = 0$ 、つまり $x^2y + 2xz = 0$ となります。

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1. (2) 単位法線ベクトルを求める

* $\phi(x, y, z)$ の勾配ベクトル $\nabla \phi$ は、等位面 $\phi(x, y, z) = c$ の法線ベクトルになります。

* $\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)$ を計算します。

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2xy + 2z$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = x^2$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = 2x$

よって、$\nabla \phi = (2xy + 2z, x^2, 2x)$

* 点 $P(1, -2, 1)$ における勾配ベクトルを計算します。

$\nabla \phi(1, -2, 1) = (2(1)(-2) + 2(1), (1)^2, 2(1)) = (-4 + 2, 1, 2) = (-2, 1, 2)$

* 単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ は、$\nabla \phi(1, -2, 1)$ をその大きさで割ることによって得られます。

$|\nabla \phi(1, -2, 1)| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

したがって、単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ は

$\mathbf{n} = \frac{\nabla \phi(1, -2, 1)}{|\nabla \phi(1, -2, 1)|} = \frac{(-2, 1, 2)}{3} = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$

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2. ベクトル $\mathbf{A}$ の発散と回転を求める

* ベクトル $\mathbf{A} = (x \sin y, 2x \cos y, 2z^2)$ の発散（divergence）は、$\nabla \cdot \mathbf{A}$ で計算されます。

$\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial}{\partial x}(x \sin y) + \frac{\partial}{\partial y}(2x \cos y) + \frac{\partial}{\partial z}(2z^2)$

$\nabla \cdot \mathbf{A} = \sin y - 2x \sin y + 4z$

* ベクトル $\mathbf{A}$ の回転（curl）は、$\nabla \times \mathbf{A}$ で計算されます。

$\nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x \sin y & 2x \cos y & 2z^2 \end{vmatrix}$

$\nabla \times \mathbf{A} = \left( \frac{\partial}{\partial y}(2z^2) - \frac{\partial}{\partial z}(2x \cos y), \frac{\partial}{\partial z}(x \sin y) - \frac{\partial}{\partial x}(2z^2), \frac{\partial}{\partial x}(2x \cos y) - \frac{\partial}{\partial y}(x \sin y) \right)$

$\nabla \times \mathbf{A} = (0 - 0, 0 - 0, 2 \cos y - x \cos y) = (0, 0, (2 - x) \cos y)$

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3. 最終的な答え

1. (1) 点 $P(1, -2, 1)$ を含む等位面: $x^2y + 2xz = 0$

(2) 点 $P(1, -2, 1)$ における単位法線ベクトル: $\mathbf{n} = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$

2. ベクトル $\mathbf{A}$ の発散: $\nabla \cdot \mathbf{A} = \sin y - 2x \sin y + 4z$

ベクトル $\mathbf{A}$ の回転: $\nabla \times \mathbf{A} = (0, 0, (2 - x) \cos y)$