質量 $m$ の物体が重力と速度に比例する空気抵抗を受けながら落下する運動について、以下の問いに答えます。 (i) 物体が満たす運動方程式を立てる。 (ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確認する。 (iii) 十分時間が経過したときの速度（終端速度）を求める。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が重力と速度に比例する空気抵抗を受けながら落下する運動について、以下の問いに答えます。

(i) 物体が満たす運動方程式を立てる。

(ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確認する。

(iii) 十分時間が経過したときの速度（終端速度）を求める。

2. 解き方の手順

(i) 運動方程式を立てる：

鉛直上向きを $y$ 軸とすると、物体の運動方程式は、

$m\frac{dv}{dt} = -mg - bv$

となります。ここで、$mg$ は重力、$bv$ は空気抵抗を表します。

(ii) 解の確認：

与えられた解 $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ を運動方程式に代入して確認します。

まず、$v(t)$ を時間 $t$ で微分します。

$\frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b})(-\frac{b}{m})e^{-\frac{b}{m}t} = -\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}$

運動方程式に代入します。

$m\frac{dv}{dt} = -b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}$

$-mg - bv = -mg - b[(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}] = -mg - b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - mg = -b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - 2mg + mg = -b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} -mg$

したがって、

$m\frac{dv}{dt} = -mg - bv$

が成り立つので、与えられた $v(t)$ は運動方程式の解です。

初期条件 $t=0$ で $v=v_0$ を確認します。

$v(0) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^0 + \frac{mg}{b} = v_0 - \frac{mg}{b} + \frac{mg}{b} = v_0$

初期条件も満たします。

(iii) 終端速度の計算：

十分時間が経過したとき、つまり $t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{b}{m}t} \to 0$ となります。

よって、

$v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b} \to \frac{mg}{b}$

したがって、終端速度は $\frac{mg}{b}$ となります。

3. 最終的な答え

(i) 運動方程式: $m\frac{dv}{dt} = -mg - bv$

(ii) 解の確認：$v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ は運動方程式を満たす。

(iii) 終端速度: $\frac{mg}{b}$