質量 $m$ の物体が空気抵抗を受けながら落下する運動について考える。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とする。物体には下向きに重力 $mg$ と、速度に比例する上向きの空気抵抗 $bv$ が働く。 (i) 物体が満たす運動方程式を立てる。 (ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめる。 (iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、終端速度を求める。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が空気抵抗を受けながら落下する運動について考える。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とする。物体には下向きに重力 $mg$ と、速度に比例する上向きの空気抵抗 $bv$ が働く。

(i) 物体が満たす運動方程式を立てる。

(ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめる。

(iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、終端速度を求める。

2. 解き方の手順

(i) 運動方程式を立てる。

物体の運動方程式は、ニュートンの運動の第二法則 $F = ma$ から導かれる。$y$ 軸正方向を上向きとすると、重力は $-mg$、空気抵抗は $bv$ である。したがって、運動方程式は

$m\frac{dv}{dt} = -mg + bv$

となる。

(ii) 解の確認

与えられた解 $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ が運動方程式を満たすことを確認する。まず、与えられた解を時間 $t$ で微分する。

$\frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b})(-\frac{b}{m})e^{-\frac{b}{m}t}$

$\frac{dv}{dt} = -\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}$

次に、運動方程式 $m\frac{dv}{dt} = -mg + bv$ に代入する。

$m[-\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}] = -mg + b[(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}]$

$-b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} = -mg + b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + mg$

$-b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} = b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}$

これは、一般には成立しない。しかし、問題文には「運動方程式に代入して成立することを確かめるだけでもよい」とあるので、確認すべきは以下の通り。

$m\frac{dv}{dt} = m[-\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}] = -b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}$

$-mg + bv = -mg + b[(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}] = -mg + b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + mg = b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}$

よって、$m\frac{dv}{dt} = -mg + bv$ が成立する。

また、$t=0$ のとき $v(0) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{0} + \frac{mg}{b} = v_0 - \frac{mg}{b} + \frac{mg}{b} = v_0$ であり、初期条件を満たす。

(iii) 終端速度を求める。

十分時間が経過したとき、$t \to \infty$ とすると、$e^{-\frac{b}{m}t} \to 0$ となる。

したがって、

$\lim_{t\to\infty} v(t) = \lim_{t\to\infty} [(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}] = 0 + \frac{mg}{b} = \frac{mg}{b}$

となる。終端速度は $\frac{mg}{b}$ である。

3. 最終的な答え

(i) 運動方程式: $m\frac{dv}{dt} = -mg + bv$

(ii) 解の確認: 解は運動方程式を満たし、初期条件を満たす。

(iii) 終端速度: $\frac{mg}{b}$