$\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、 $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 2\sqrt{3}$ が与えられているとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。 (2) $|3\vec{a} - \vec{b}|$ の値を求めよ。

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0. の問題

1. 問題の内容

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、 $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 2\sqrt{3}$ が与えられているとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。

(2) $|3\vec{a} - \vec{b}|$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

が成り立つ。よって、

$(2\sqrt{3})^2 = 4^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2^2$

$12 = 16 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 4$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 16 + 4 - 12 = 8$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$

(2) $|3\vec{a} - \vec{b}|$ を求める。

$|3\vec{a} - \vec{b}|^2 = (3\vec{a} - \vec{b}) \cdot (3\vec{a} - \vec{b}) = 9|\vec{a}|^2 - 6\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$|3\vec{a} - \vec{b}|^2 = 9(4^2) - 6(4) + 2^2 = 9(16) - 24 + 4 = 144 - 24 + 4 = 124$

$|3\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{124} = \sqrt{4 \times 31} = 2\sqrt{31}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$

(2) $|3\vec{a} - \vec{b}| = 2\sqrt{31}$