質量 $m$ の物体が、重力と速度に比例する空気抵抗を受けながら落下する運動を考える問題です。 (i) 運動方程式を立て、 (ii) 与えられた速度の解 $v(t)$ が初期条件 $v(0) = v_0$ を満たすことを確認し、 (iii) 十分時間が経過した後の終端速度を求める問題です。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が、重力と速度に比例する空気抵抗を受けながら落下する運動を考える問題です。

(i) 運動方程式を立て、

(ii) 与えられた速度の解 $v(t)$ が初期条件 $v(0) = v_0$ を満たすことを確認し、

(iii) 十分時間が経過した後の終端速度を求める問題です。

2. 解き方の手順

(i) 運動方程式の導出

鉛直上向きを $y$ 軸の正の向きとします。物体に働く力は、下向きの重力 $mg$ と上向きの空気抵抗 $bv$ です。したがって、運動方程式は

$m \frac{dv}{dt} = mg - bv$

となります。ここで $v$ は速度、$t$ は時間です。

(ii) 与えられた解が運動方程式を満たすことの確認

与えられた解を運動方程式に代入して確認します。

$v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$

これを時間で微分すると、

$\frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b}) (-\frac{b}{m}) e^{-\frac{b}{m}t} = -\frac{b}{m} (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}$

これを運動方程式に代入すると、

$m \frac{dv}{dt} = m (-\frac{b}{m}) (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} = -b (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}$

一方、運動方程式の右辺は

$mg - bv = mg - b[(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}] = mg - b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - mg = -b (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}$

となり、確かに運動方程式を満たします。

また、初期条件 $t=0$ で $v = v_0$ を満たすか確認します。

$v(0) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{0} + \frac{mg}{b} = v_0 - \frac{mg}{b} + \frac{mg}{b} = v_0$

したがって、与えられた解は初期条件を満たし、運動方程式の解であることが確認できました。

(iii) 終端速度の計算

十分時間が経過すると、$t \rightarrow \infty$ であり、$e^{-\frac{b}{m}t} \rightarrow 0$ となります。したがって、

$v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b} \rightarrow \frac{mg}{b}$

となります。

3. 最終的な答え

(i) 運動方程式: $m \frac{dv}{dt} = mg - bv$

(ii) 解の確認: 上記の通り

(iii) 終端速度: $\frac{mg}{b}$