(1) 集合 $A$ を、$A = \{ x | x \text{ は16の正の約数 } \}$ と定義する。この集合 $A$ の要素を列挙せよ。 (2) 全体集合を $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ とする。$B = \{1, 2, 4, 8\}$、$C = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ について、$\overline{B} \cap \overline{C}$ を求めよ。ここで、$\overline{B}$ は $B$ の補集合を表す。 (3) 集合 $D = \{ 3n - 1 | 1 \leq n \leq 5, n \text{ は整数} \}$、$E = \{ 6n + 2 | 0 \leq n \leq 2, n \text{ は整数} \}$ とする。集合 $D$ と $E$ の間に成り立つ関係を、記号 $\subset$ または $=$ を用いて表せ。 (4) 集合 $\{a, b\}$ の部分集合をすべて求めよ。

1. 問題の内容

(1) 集合 $A$ を、$A = \{ x | x \text{ は16の正の約数 } \}$ と定義する。この集合 $A$ の要素を列挙せよ。

(2) 全体集合を $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ とする。$B = \{1, 2, 4, 8\}$、$C = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ について、$\overline{B} \cap \overline{C}$ を求めよ。ここで、$\overline{B}$ は $B$ の補集合を表す。

(3) 集合 $D = \{ 3n - 1 | 1 \leq n \leq 5, n \text{ は整数} \}$、$E = \{ 6n + 2 | 0 \leq n \leq 2, n \text{ は整数} \}$ とする。集合 $D$ と $E$ の間に成り立つ関係を、記号 $\subset$ または $=$ を用いて表せ。

(4) 集合 $\{a, b\}$ の部分集合をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 16 の正の約数は 1, 2, 4, 8, 16 である。したがって、$A = \{1, 2, 4, 8, 16\}$。

(2) $B = \{1, 2, 4, 8\}$ より、$\overline{B} = U - B = \{3, 5, 6, 7, 9, 10\}$。

$C = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ より、$\overline{C} = U - C = \{2, 4, 6, 8, 10\}$。

したがって、$\overline{B} \cap \overline{C} = \{6, 10\}$。

(3) $D = \{ 3n - 1 | 1 \leq n \leq 5, n \text{ は整数} \}$ について、$n = 1, 2, 3, 4, 5$ を代入すると、

$D = \{2, 5, 8, 11, 14\}$。

$E = \{ 6n + 2 | 0 \leq n \leq 2, n \text{ は整数} \}$ について、$n = 0, 1, 2$ を代入すると、

$E = \{2, 8, 14\}$。

$E$ の要素はすべて $D$ の要素に含まれるので、$E \subset D$。

(4) 集合 $\{a, b\}$ の部分集合は、$\emptyset$ (空集合)、$\{a\}$、$\{b\}$、$\{a, b\}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $A = \{1, 2, 4, 8, 16\}$

(2) $\overline{B} \cap \overline{C} = \{6, 10\}$

(3) $E \subset D$

(4) $\emptyset$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{a, b\}$