A, B, C, D, Eの5文字を使ってできる順列を辞書式順に並べたとき、以下の問いに答える。 (1) 順列の総数を求める。 (2) 55番目の文字列を求める。 (3) DCBAEは何番目の文字列か求める。

1. 問題の内容

A, B, C, D, Eの5文字を使ってできる順列を辞書式順に並べたとき、以下の問いに答える。

(1) 順列の総数を求める。

(2) 55番目の文字列を求める。

(3) DCBAEは何番目の文字列か求める。

2. 解き方の手順

(1) 順列の総数を求める。

5文字の順列の総数は、5の階乗で求められる。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

(2) 55番目の文字列を求める。

まず、Aから始まる順列の数を考える。残りの4文字(B, C, D, E)の順列は$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り。

次に、Bから始まる順列も同様に24通り。ここまでで48通り。

Cから始まる順列を考えると、49番目以降となる。

CAから始まる順列は$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通り。48 + 6 = 54なので、まだ55番目に達しない。

CBから始まる順列は同様に6通り。48+6=54なのでまだ55番目に達しない。

CDから始まる順列を考えると、55番目以降となる。

CDABEが55番目になる。

(3) DCBAEが何番目の文字列か求める。

まず、A, B, Cから始まる順列の数を数える。それぞれ$4! = 24$通りなので、$3 \times 24 = 72$通り。

次に、Dから始まる順列を考える。

DAから始まる順列は$3! = 6$通り。

DBから始まる順列も$3! = 6$通り。

DCから始まる順列を考える。

DCAから始まる順列は$2! = 2$通り。

DCBから始まる順列は$2! = 2$通り。

DCEから始まる順列も$2! = 2$通り。

ここまでで、$72 + 6 + 6 = 84$通り。

DCBAEは、DCA, DCB, DCEの後に並んでいるので、その次の順列を調べる。

DCBAEはDCABEの次である。

DCAで始まるものを列挙すると、DCAEB, DCABE。

DCBで始まるものを列挙すると、DCBAE, DCBEA。

DCEで始まるものを列挙すると、DCEAB, DCEBA。

DA, DBから始まるもの、DCから始まるものを足すと、

$3 \times 24 + 2 \times 6 + 3 \times 2= 72 + 12+2 + 2 + 2=88$となる。

DCAで始まる2つ, DCBで始まるもの、DCEで始まるものの順に並べ、DCBAEが何番目かを調べると

DCBAEは、A,B,Cで始まる$3 \times 4! = 72$個, DAで始まる$3! = 6$個, DBで始まる$3! = 6$個, DCAで始まる$2!$個のうちDCAEB、DCBで始まる$2!$個のうち、DCBAEと数えると、$72 + 6 + 6 + 1+1=86$である。

$A \cdots$: $4!=24$

$B \cdots$: $4!=24$

$C \cdots$: $4!=24$

ここまでで$24 \times 3 = 72$

$D A \cdots$: $3!=6$

$D B \cdots$: $3!=6$

$D C A \cdots$: $2!=2$

$D C B \cdots$: $2!=2$

$D C E \cdots$: $2!=2$

ここまでで、$72+6+6+2+2+2 = 90$個。

DCBAEは、$72+6+6+2+1 = 87$番目

3. 最終的な答え

(1) 120

(2) CDABE

(3) 87