異なる正の実数 $a, b$ に対して、2次正方行列 $D = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ と $A = \begin{pmatrix} a & a-b \\ 0 & b \end{pmatrix}$ が与えられています。 (1) 行列 $D$ の固有値を求める。 (2) 行列 $A$ の固有値を求める。 (3) 行列 $A$ の各固有値に属する固有ベクトルを求める。 (4) 2次正則行列 $P$ が $D = P^{-1}AP$ を満たすとき、$P$ を求める。

1. 問題の内容

異なる正の実数 $a, b$ に対して、2次正方行列 $D = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ と $A = \begin{pmatrix} a & a-b \\ 0 & b \end{pmatrix}$ が与えられています。

(1) 行列 $D$ の固有値を求める。

(2) 行列 $A$ の固有値を求める。

(3) 行列 $A$ の各固有値に属する固有ベクトルを求める。

(4) 2次正則行列 $P$ が $D = P^{-1}AP$ を満たすとき、$P$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $D$ の固有値を求める。

$D$ は対角行列なので、固有値は対角成分です。したがって、$D$ の固有値は $a$ と $b$ です。

(2) 行列 $A$ の固有値を求める。

$A$ は上三角行列なので、固有値は対角成分です。したがって、$A$ の固有値は $a$ と $b$ です。

(3) 行列 $A$ の各固有値に属する固有ベクトルを求める。

固有値 $a$ に対応する固有ベクトルを $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、

$(A - aI)\vec{v} = \vec{0}$

$\begin{pmatrix} 0 & a-b \\ 0 & b-a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$(a-b)y = 0$

$a \neq b$ なので、$y = 0$ となります。したがって、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の定数倍です。

固有値 $b$ に対応する固有ベクトルを $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、

$(A - bI)\vec{v} = \vec{0}$

$\begin{pmatrix} a-b & a-b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$(a-b)x + (a-b)y = 0$

$a \neq b$ なので、$x + y = 0$ となります。したがって、$y = -x$ なので、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ の定数倍です。

(4) $D = P^{-1}AP$ を満たす $P$ を求める。

$AP = PD$

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ とすると、$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ となります。

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & a-b \\ 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a-b+b \\ 0 & -b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a \\ 0 & -b+b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$

$D = P^{-1}AP$ となる行列$P$は、行列$A$の固有ベクトルを並べたものです。固有値aに対応する固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$で、固有値bに対応する固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$です。したがって、$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 1と2

(2) 1と2

(3) 1と4

(4) 1