与えられた連立一次方程式を解く問題です。行列形式で表された方程式は以下の通りです。 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -5 & 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ -6 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解く問題です。行列形式で表された方程式は以下の通りです。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -5 & 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ -6 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

この連立一次方程式を解くために、拡大行列を作成し、行基本変形を用いて簡約化します。

拡大行列は次のようになります。

$\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 2 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -5 & 4 & 1 & -6 \end{array} \right]$

まず、2行目から1行目の2倍を引き、3行目に1行目を足します。

$\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 2 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -5 & -7 \\ 0 & 3 & -3 & 3 & 3 & -3 \end{array} \right]$

次に、3行目から2行目の3倍を引きます。

$\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 2 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -5 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 18 & 18 \end{array} \right]$

3行目を18で割ります。

$\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 2 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -5 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right]$

次に、1行目から3行目の2倍を引き、2行目に3行目の5倍を足します。

$\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right]$

この行列は簡約化された行階段形です。これから、解をパラメータ表示することができます。$x_3 = s$と$x_4 = t$とおくと、

$x_1 = 1 - 2s + t$

$x_2 = -2 + s - t$

$x_5 = 1$

3. 最終的な答え

$x_1 = 1 - 2s + t$

$x_2 = -2 + s - t$

$x_3 = s$

$x_4 = t$

$x_5 = 1$

ここで、$s$と$t$は任意の実数です。