放物線 $y = 3 - x^2$ (ただし $-\sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}$) と $x$軸に平行な直線が異なる2点A, Bで交わるとき、原点Oとして、三角形OABの面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 3 - x^2$ (ただし $-\sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}$) と $x$軸に平行な直線が異なる2点A, Bで交わるとき、原点Oとして、三角形OABの面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

放物線 $y = 3 - x^2$ と $x$ 軸に平行な直線 $y = k$ (ただし $0 < k < 3$) の交点の $x$ 座標を求める。

$3 - x^2 = k$ より、$x^2 = 3 - k$。

したがって、$x = \pm \sqrt{3 - k}$。

点A, Bの座標を $A(-\sqrt{3 - k}, k)$, $B(\sqrt{3 - k}, k)$ とする。

三角形OABの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot k = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3 - k} \cdot k = k\sqrt{3 - k}$

$S^2 = k^2(3 - k) = 3k^2 - k^3$

$f(k) = 3k^2 - k^3$ とおくと、

$f'(k) = 6k - 3k^2 = 3k(2 - k)$

$f'(k) = 0$ とすると、$k = 0, 2$。

$0 < k < 3$ で考えると、k = 2 の時、Sが最大となる。

増減表は省略

$k = 2$ のとき、$S = 2\sqrt{3 - 2} = 2$

したがって、三角形OABの面積の最大値は2となる。

3. 最終的な答え

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