$x = \frac{2}{\sqrt{3}+1}$ と $y = \frac{2}{\sqrt{3}-1}$ が与えられたとき、以下の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$ (4) $x^3+y^3$ (5) $x^5+y^5$

1. 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{3}+1}$ と $y = \frac{2}{\sqrt{3}-1}$ が与えられたとき、以下の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

(4) $x^3+y^3$

(5) $x^5+y^5$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化する。

$x = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3}-1$

$y = \frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$

(1) $x+y = (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{3}$

(2) $xy = (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$

(3) $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2\sqrt{3})^2 - 2(2) = 4(3) - 4 = 12 - 4 = 8$

(4) $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = (2\sqrt{3})((2\sqrt{3})^2 - 3(2)) = 2\sqrt{3}(12 - 6) = 2\sqrt{3}(6) = 12\sqrt{3}$

別解として

$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = (2\sqrt{3})^3 - 3(2)(2\sqrt{3}) = 8(3\sqrt{3}) - 12\sqrt{3} = 24\sqrt{3} - 12\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$

(5) $x^5+y^5$を計算するために、次の公式を利用する。

$x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y) = (8)(12\sqrt{3}) - (2^2)(2\sqrt{3}) = 96\sqrt{3} - 4(2\sqrt{3}) = 96\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 88\sqrt{3}$

別の解法として、

$x^5 + y^5 = (x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4) = (x+y)(x^4+y^4 - xy(x^2+y^2) + (xy)^2)$

$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = 8^2 - 2(2^2) = 64 - 8 = 56$

$x^5+y^5 = (2\sqrt{3})(56 - 2(8) + 2^2) = (2\sqrt{3})(56 - 16 + 4) = 2\sqrt{3}(44) = 88\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 2\sqrt{3}$

(2) $xy = 2$

(3) $x^2+y^2 = 8$

(4) $x^3+y^3 = 12\sqrt{3}$

(5) $x^5+y^5 = 88\sqrt{3}$