行列とベクトルの積を展開すると、次の連立一次方程式が得られます。 $2x_1 + x_2 - 5x_3 + 3x_4 = 0$ $x_1 + x_2 - 3x_3 + 2x_4 = 0$

## 問題(k)の内容

問題(k)は、与えられた行列とベクトル $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix}$ の積が零ベクトルになるような$x$を求める問題です。具体的には、以下の方程式を満たす$x_1, x_2, x_3, x_4$を求める問題です。

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -5 & 3 \\ 1 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

## 解き方の手順

1. 連立一次方程式を立てます。

行列とベクトルの積を展開すると、次の連立一次方程式が得られます。

$2x_1 + x_2 - 5x_3 + 3x_4 = 0$

$x_1 + x_2 - 3x_3 + 2x_4 = 0$

2. 連立一次方程式を解きます。

連立方程式を解くために、まず2番目の式を最初の式から引きます。

$(2x_1 + x_2 - 5x_3 + 3x_4) - (x_1 + x_2 - 3x_3 + 2x_4) = 0 - 0$

これにより、次の式が得られます。

$x_1 - 2x_3 + x_4 = 0$

したがって、$x_1$は次のように表すことができます。

$x_1 = 2x_3 - x_4$

次に、$x_1$を2番目の式に代入します。

$(2x_3 - x_4) + x_2 - 3x_3 + 2x_4 = 0$

$x_2 - x_3 + x_4 = 0$

したがって、$x_2$は次のように表すことができます。

$x_2 = x_3 - x_4$

$x_3$と$x_4$は任意の値を取ることができます。$x_3 = s$, $x_4 = t$とすると、

$x_1 = 2s - t$

$x_2 = s - t$

## 最終的な答え

解は次のようになります。

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2s - t \\ s - t \\ s \\ t \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

ここで、$s$と$t$は任意の実数です。

## 問題(l)の内容

問題(l)は、与えられた行列とベクトル $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix}$ の積が$\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$になるような$x$を求める問題です。具体的には、以下の方程式を満たす$x_1, x_2, x_3, x_4$を求める問題です。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

## 解き方の手順

1. 連立一次方程式を立てます。

行列とベクトルの積を展開すると、次の連立一次方程式が得られます。

$x_1 + x_2 + x_3 - x_4 = -1$

$2x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0$

$x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 1$

$x_1 + 5x_2 + 3x_3 + x_4 = -1$

2. 連立一次方程式を解きます。

まず、最初の式から2番目の式を引くと、

$(x_1 + x_2 + x_3 - x_4) - (2x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4) = -1 - 0$

$-x_1 - x_2 - 2x_4 = -1$

よって、$x_1 = 1 - x_2 - 2x_4$

これを3番目の式に代入します。

$(1 - x_2 - 2x_4) - 3x_2 - 2x_3 = 1$

$1 - 4x_2 - 2x_3 - 2x_4 = 1$

$-4x_2 - 2x_3 - 2x_4 = 0$

$2x_2 + x_3 + x_4 = 0$

$x_3 = -2x_2 - x_4$

これを最初の式に代入します。

$x_1 + x_2 + (-2x_2 - x_4) - x_4 = -1$

$x_1 - x_2 - 2x_4 = -1$

$x_1 = x_2 + 2x_4 - 1$

これを2番目の式に代入します。

$2(x_2 + 2x_4 - 1) + 2x_2 + (-2x_2 - x_4) + x_4 = 0$

$2x_2 + 4x_4 - 2 + 2x_2 - 2x_2 - x_4 + x_4 = 0$

$2x_2 + 4x_4 - 2 = 0$

$2x_2 = 2 - 4x_4$

$x_2 = 1 - 2x_4$

$x_1 = (1 - 2x_4) + 2x_4 - 1 = 0$

$x_3 = -2(1 - 2x_4) - x_4 = -2 + 4x_4 - x_4 = -2 + 3x_4$

$x_4 = t$とすると、

$x_1 = 0$

$x_2 = 1 - 2t$

$x_3 = -2 + 3t$

$x_4 = t$

## 最終的な答え

解は次のようになります。

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 - 2t \\ -2 + 3t \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

ここで、$t$は任意の実数です。