半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、それぞれの時刻 $t$ における位置ベクトルが与えられている。 $r^A(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) j)$ $r^B(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t^2}{6}) i + \sin(\frac{\pi t^2}{6}) j)$ これらの情報をもとに、AとBの軌跡、角速度、周期、速度、加速度などを求め、円運動の性質について考察する。

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、それぞれの時刻 $t$ における位置ベクトルが与えられている。

$r^A(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) j)$

$r^B(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t^2}{6}) i + \sin(\frac{\pi t^2}{6}) j)$

これらの情報をもとに、AとBの軌跡、角速度、周期、速度、加速度などを求め、円運動の性質について考察する。

2. 解き方の手順

(i) 軌跡の描画:

$t = 0, 1, 2, 3$ におけるA, Bの位置をそれぞれ計算し、円周上にプロットする。AとBが区別できるように注意する。

$r^A(0) = 2(\cos(-\frac{\pi}{6})i + \sin(-\frac{\pi}{6})j) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2}j) = (\sqrt{3}, -1)$

$r^A(1) = 2(\cos(\frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = (\sqrt{3}, 1)$

$r^A(2) = 2(\cos(\frac{\pi}{2})i + \sin(\frac{\pi}{2})j) = (0, 2)$

$r^A(3) = 2(\cos(\frac{5\pi}{6})i + \sin(\frac{5\pi}{6})j) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = (-\sqrt{3}, 1)$

$r^B(0) = 2(\cos(0)i + \sin(0)j) = (2, 0)$

$r^B(1) = 2(\cos(\frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi}{6})j) = (\sqrt{3}, 1)$

$r^B(2) = 2(\cos(\frac{2\pi}{3})i + \sin(\frac{2\pi}{3})j) = (-1, \sqrt{3})$

$r^B(3) = 2(\cos(\frac{3\pi}{2})i + \sin(\frac{3\pi}{2})j) = (0, -2)$

(ii) 角速度の定義と計算:

角速度 $\omega$ は、単位時間あたりの角の変化を表す。

$\omega = \frac{d\theta}{dt}$

Aの角速度: $\theta^A(t) = \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}$ より、$\omega^A(t) = \frac{d\theta^A}{dt} = \frac{\pi}{3}$

Bの角速度: $\theta^B(t) = \frac{\pi t^2}{6}$ より、$\omega^B(t) = \frac{d\theta^B}{dt} = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期の計算:

Aの周期: $\frac{\pi t}{3} = 2\pi$ となる $t$ を求めると、 $t = 6$ 。よって、Aの周期は6。

Bは角速度が時間によって変化するため、一定の周期を持たない。

(iv) 速度の接線成分の計算:

速度 $v = r \omega$ より、

$v^A(t) = 2 \omega^A(t) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

$v^B(t) = 2 \omega^B(t) = 2 \cdot \frac{\pi t}{3} = \frac{2\pi t}{3}$

Aは速度が一定であるため等速円運動であり、Bは速度が時間と共に増加するため等加速度円運動である。

(v) t=1における速度:

$v^A(1) = \frac{2\pi}{3}$

$v^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

これらの速度ベクトルは、それぞれの位置における円の接線方向を向いている。

(vi) t=1における加速度:

Aの加速度は0。なぜなら等速円運動だから。$a^A(1) = 0$

Bの加速度を求める。

位置ベクトル $r^B(t)$ を時間で2回微分すると加速度が得られる。

$r^B(t) = 2\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + 2\sin(\frac{\pi t^2}{6})j$

$v^B(t) = \frac{d}{dt}r^B(t) = -\frac{2\pi t}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6})i + \frac{2\pi t}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6})j$

$a^B(t) = \frac{d}{dt}v^B(t) = (-\frac{2\pi}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{2\pi^2 t^2}{9}\cos(\frac{\pi t^2}{6}))i + (\frac{2\pi}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{2\pi^2 t^2}{9}\sin(\frac{\pi t^2}{6}))j$

$a^B(1) = (-\frac{2\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6}) - \frac{2\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi}{6}))i + (\frac{2\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{2\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi}{6}))j$

$a^B(1) = (-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi^2\sqrt{3}}{9})i + (\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi^2}{9})j$

(vii) t=1における加速度の接線成分と法線成分:

$a^A(1)$の接線成分 $a_t^A(1) = 0$、法線成分 $a_n^A(1) = \frac{v^2}{r} = \frac{(2\pi/3)^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$

$a^B(1)$の接線成分 $a_t^B(1) = r \alpha = 2 (\frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}$

$a^B(1)$の法線成分 $a_n^B(1) = \frac{v^2}{r} = \frac{(2\pi/3)^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) t=1における加速度の大きさ:

$|a^A(1)| = 0$

$|a^B(1)| = \sqrt{(\frac{2\pi}{3})^2+(\frac{2\pi^2}{9})^2} = \sqrt{a_t^2+a_n^2} = \sqrt{(\frac{2\pi}{3})^2 + (\frac{2\pi^2}{9})^2} = \frac{2\pi}{3}\sqrt{1 + \frac{\pi^2}{9}}$

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも、加速度は異なることがある例:

Aは等速円運動で、加速度は中心に向かう向心加速度のみ。

Bは等加速度円運動で、加速度は中心に向かう向心加速度と、接線方向の加速度を持つ。

よって、同じ半径で速度が等しくても、加速度は異なることがある。

3. 最終的な答え

(i) 軌跡の描画: 略 (上記に各時刻の位置座標を記載)

(ii) 角速度: $\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$, $\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期: Aは6, Bは周期を持たない。

(iv) 速度の接線成分: $v^A(t) = \frac{2\pi}{3}$, $v^B(t) = \frac{2\pi t}{3}$。Aは等速円運動、Bは等加速度円運動。

(v) t=1における速度: $v^A(1) = \frac{2\pi}{3}$, $v^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

(vi) t=1における加速度: $a^A(1) = 0$, $a^B(1) = (-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi^2\sqrt{3}}{9})i + (\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi^2}{9})j$

(vii) t=1における加速度の接線成分と法線成分: $a_t^A(1) = 0$, $a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$, $a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$, $a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) t=1における加速度の大きさ: $|a^A(1)| = 0$, $|a^B(1)| = \frac{2\pi}{3}\sqrt{1 + \frac{\pi^2}{9}}$

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも、加速度は異なることがある例: Aは等速円運動、Bは等加速度円運動。