ボールの落下運動において、落下距離 $y$ が時間の2乗 $x^2$ に比例し、2秒間で20m落下するという条件が与えられています。このとき、以下の問題を解きます。 (1) $y$ を $x$ の式で表す。 (2) 落ち始めてから3秒間に落ちた距離を求める。 (3) 落ち始めてから5秒間に落ちた距離を求める。 (4) ボールが320m落ちるのにかかる時間を求める。

1. 問題の内容

ボールの落下運動において、落下距離 $y$ が時間の2乗 $x^2$ に比例し、2秒間で20m落下するという条件が与えられています。このとき、以下の問題を解きます。

(1) $y$ を $x$ の式で表す。

(2) 落ち始めてから3秒間に落ちた距離を求める。

(3) 落ち始めてから5秒間に落ちた距離を求める。

(4) ボールが320m落ちるのにかかる時間を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y$ は $x^2$ に比例するので、$y = ax^2$ と表すことができます。2秒で20m落下するという条件から、$x = 2$ のとき $y = 20$ なので、

$20 = a(2^2)$

$20 = 4a$

$a = 5$

したがって、$y = 5x^2$ となります。

(2) 3秒間に落ちた距離を求めるには、$x = 3$ を $y = 5x^2$ に代入します。

$y = 5(3^2)$

$y = 5(9)$

$y = 45$

したがって、3秒間に落ちた距離は45mです。

(3) 5秒間に落ちた距離を求めるには、$x = 5$ を $y = 5x^2$ に代入します。

$y = 5(5^2)$

$y = 5(25)$

$y = 125$

したがって、5秒間に落ちた距離は125mです。

(4) 320m落ちるのにかかる時間を求めるには、$y = 320$ を $y = 5x^2$ に代入します。

$320 = 5x^2$

$x^2 = \frac{320}{5}$

$x^2 = 64$

$x = \sqrt{64}$

$x = 8$

したがって、320m落ちるのにかかる時間は8秒です。

3. 最終的な答え

(1) $y = 5x^2$

(2) 45m

(3) 125m

(4) 8秒