問題は、ベクトルの外積、平行四辺形の面積、ベクトル三重積、ベクトル関数の微分など、ベクトルに関する様々な計算を行うものです。具体的には以下の通りです。 * **問題1:** 2つのベクトルの外積を求める。 * (1) $A = 2i - j - 3k$, $B = 3i + 2j - 4k$ * (2) $A = 4i + 2j - k$, $B = -9i - 6j + 2k$ * **問題2:** 2つのベクトルが作る平行四辺形の面積を求める。 * $A = i - 3j + 4k$, $B = 2i - 5j + 7k$ * **問題3:** $(A + B) \times (A - B) = 0$ となる2つのベクトル $A, B$ の関係を示す。 * **問題4:** ベクトル $A, B, C$ のスカラー三重積とベクトル三重積を求める。 * $A = i - 2j - 3k$, $B = 2i + j - k$, $C = i + 3j - 2k$ * **問題5:** $u$ を変数とするベクトル関数 $A(u)$ について、次の問いに答える。 * (1) $A(u) = \sin(2u)i + \cos(u)j + \frac{1}{u+1}k$ の一次導関数 $A'$ と二次導関数 $A''$ を求める。 * (2) $A(u) = a\sin(2u)i + b\cos(2u)j$ は $A'' + 4A = 0$ を満たすか ($a, b$ は定数)。

1. 問題の内容

問題は、ベクトルの外積、平行四辺形の面積、ベクトル三重積、ベクトル関数の微分など、ベクトルに関する様々な計算を行うものです。具体的には以下の通りです。

* **問題1:** 2つのベクトルの外積を求める。

* (1) $A = 2i - j - 3k$, $B = 3i + 2j - 4k$

* (2) $A = 4i + 2j - k$, $B = -9i - 6j + 2k$

* **問題2:** 2つのベクトルが作る平行四辺形の面積を求める。

* $A = i - 3j + 4k$, $B = 2i - 5j + 7k$

* **問題3:** $(A + B) \times (A - B) = 0$ となる2つのベクトル $A, B$ の関係を示す。

* **問題4:** ベクトル $A, B, C$ のスカラー三重積とベクトル三重積を求める。

* $A = i - 2j - 3k$, $B = 2i + j - k$, $C = i + 3j - 2k$

* **問題5:** $u$ を変数とするベクトル関数 $A(u)$ について、次の問いに答える。

* (1) $A(u) = \sin(2u)i + \cos(u)j + \frac{1}{u+1}k$ の一次導関数 $A'$ と二次導関数 $A''$ を求める。

* (2) $A(u) = a\sin(2u)i + b\cos(2u)j$ は $A'' + 4A = 0$ を満たすか ($a, b$ は定数)。

2. 解き方の手順

* **問題1:** ベクトルの外積は以下のように計算します。

$A = (a_1, a_2, a_3)$, $B = (b_1, b_2, b_3)$ のとき、

$A \times B = (a_2b_3 - a_3b_2)i + (a_3b_1 - a_1b_3)j + (a_1b_2 - a_2b_1)k$

* (1)

$A \times B = ((-1)(-4) - (-3)(2))i + ((-3)(3) - (2)(-4))j + ((2)(2) - (-1)(3))k = (4 + 6)i + (-9 + 8)j + (4 + 3)k = 10i - j + 7k$

* (2)

$A \times B = ((2)(2) - (-1)(-6))i + ((-1)(-9) - (4)(2))j + ((4)(-6) - (2)(-9))k = (4 - 6)i + (9 - 8)j + (-24 + 18)k = -2i + j - 6k$

* **問題2:** 2つのベクトルが作る平行四辺形の面積は、それらのベクトルの外積の絶対値です。

$A = (a_1, a_2, a_3)$, $B = (b_1, b_2, b_3)$ のとき、面積 $= |A \times B|$

$A \times B = ((-3)(7) - (4)(-5))i + ((4)(2) - (1)(7))j + ((1)(-5) - (-3)(2))k = (-21 + 20)i + (8 - 7)j + (-5 + 6)k = -i + j + k$

面積 $= |-i + j + k| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

* **問題3:** $(A + B) \times (A - B) = 0$ となる関係を示す。

$(A + B) \times (A - B) = A \times A - A \times B + B \times A - B \times B$

外積の性質より、$A \times A = 0$ および $B \times B = 0$、また $B \times A = - (A \times B)$ なので、

$= - A \times B - A \times B = -2 (A \times B) = 0$

したがって、$A \times B = 0$。 これは、$A$ と $B$ が平行であることを意味します。つまり、$A = k B$ (kはスカラー) と表せます。

* **問題4:** スカラー三重積 $A \cdot (B \times C)$ とベクトル三重積 $A \times (B \times C)$ を求める。

まず、$B \times C$ を計算します。

$B \times C = ((1)(-2) - (-1)(3))i + ((-1)(1) - (2)(-2))j + ((2)(3) - (1)(1))k = (-2 + 3)i + (-1 + 4)j + (6 - 1)k = i + 3j + 5k$

スカラー三重積: $A \cdot (B \times C) = (1)(1) + (-2)(3) + (-3)(5) = 1 - 6 - 15 = -20$

次にベクトル三重積 $A \times (B \times C)$ を計算します。

$A \times (B \times C) = ((-2)(5) - (-3)(3))i + ((-3)(1) - (1)(5))j + ((1)(3) - (-2)(1))k = (-10 + 9)i + (-3 - 5)j + (3 + 2)k = -i - 8j + 5k$

* **問題5:**

* (1) $A(u) = \sin(2u)i + \cos(u)j + \frac{1}{u+1}k$ の一次導関数 $A'$ と二次導関数 $A''$ を求める。

$A'(u) = \frac{d}{du} A(u) = 2\cos(2u)i - \sin(u)j - \frac{1}{(u+1)^2}k$

$A''(u) = \frac{d}{du} A'(u) = -4\sin(2u)i - \cos(u)j + \frac{2}{(u+1)^3}k$

* (2) $A(u) = a\sin(2u)i + b\cos(2u)j$ は $A'' + 4A = 0$ を満たすか。

$A'(u) = 2a\cos(2u)i - 2b\sin(2u)j$

$A''(u) = -4a\sin(2u)i - 4b\cos(2u)j$

$A'' + 4A = (-4a\sin(2u) + 4a\sin(2u))i + (-4b\cos(2u) + 4b\cos(2u))j = 0$

したがって、$A'' + 4A = 0$ を満たします。

3. 最終的な答え

* **問題1:**

* (1) $10i - j + 7k$

* (2) $-2i + j - 6k$

* **問題2:** $\sqrt{3}$

* **問題3:** $A = kB$ ($A$と$B$は平行)

* **問題4:**

* スカラー三重積: $-20$

* ベクトル三重積: $-i - 8j + 5k$

* **問題5:**

* (1) $A'(u) = 2\cos(2u)i - \sin(u)j - \frac{1}{(u+1)^2}k$, $A''(u) = -4\sin(2u)i - \cos(u)j + \frac{2}{(u+1)^3}k$

* (2) 満たす