$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とする。以下の値を求める。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $\frac{a+b^2}{3b}$

1. 問題の内容

$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とする。以下の値を求める。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $\frac{a+b^2}{3b}$

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ を有理化する。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

ここで、$\sqrt{3}$ の近似値を考える。$1 < \sqrt{3} < 2$ である。より正確には、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ であるので、$2+\sqrt{3}$ は $3.7$ から $3.8$ の間の値となる。

したがって、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分は $3$ である。

$a = 3$

(2) 小数部分 $b$ は、$2+\sqrt{3}$ から整数の部分 $3$ を引いたものなので、

$b = (2+\sqrt{3}) - 3 = \sqrt{3} - 1$

(3) $\frac{a+b^2}{3b}$ に $a=3$ と $b=\sqrt{3}-1$ を代入する。

$\frac{a+b^2}{3b} = \frac{3+(\sqrt{3}-1)^2}{3(\sqrt{3}-1)} = \frac{3+(3-2\sqrt{3}+1)}{3(\sqrt{3}-1)} = \frac{3+4-2\sqrt{3}}{3(\sqrt{3}-1)} = \frac{7-2\sqrt{3}}{3(\sqrt{3}-1)}$

分母を有理化するために $\sqrt{3}+1$ を分母と分子にかける。

$\frac{7-2\sqrt{3}}{3(\sqrt{3}-1)} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(7-2\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{3(3-1)} = \frac{7\sqrt{3}+7-6-2\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}+1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) $b = \sqrt{3} - 1$

(3) $\frac{a+b^2}{3b} = \frac{5\sqrt{3}+1}{6}$