十の位の数字が $a$、一の位の数字が $b$ である2桁の自然数を $N$ とする。$N$ の十の位の数字と一の位の数字を入れ替えてできる自然数を $M$ とする。$N^2 - M^2 = 693$ であるとき、自然数 $N$ を求めよ。

1. 問題の内容

十の位の数字が $a$、一の位の数字が $b$ である2桁の自然数を $N$ とする。$N$ の十の位の数字と一の位の数字を入れ替えてできる自然数を $M$ とする。$N^2 - M^2 = 693$ であるとき、自然数 $N$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$N$ と $M$ を $a$ と $b$ を用いて表す。

$N = 10a + b$

$M = 10b + a$

$N^2 - M^2 = (N+M)(N-M)$ であるから、

$N^2 - M^2 = (10a + b + 10b + a)(10a + b - (10b + a)) = (11a + 11b)(9a - 9b) = 11(a+b) \cdot 9(a-b) = 99(a+b)(a-b)$

$N^2 - M^2 = 693$ なので、$99(a+b)(a-b) = 693$

$(a+b)(a-b) = \frac{693}{99} = 7$

$a$ と $b$ は自然数で、$a > b$ であるから、$a+b$ と $a-b$ も自然数である。

7の約数は 1 と 7 のみである。

よって、$a+b = 7$ かつ $a-b = 1$ でなければならない。

この連立方程式を解く。

$a+b = 7$

$a-b = 1$

両式を足すと、$2a = 8$ より $a = 4$

$a+b = 7$ に代入して、$4+b = 7$ より $b = 3$

したがって、$N = 10a + b = 10(4) + 3 = 43$

3. 最終的な答え

43