多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが8、$x+3$ で割ると余りが-7である。$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが8、$x+3$ で割ると余りが-7である。$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ とすると、

$P(x) = (x-2)(x+3)Q(x) + ax + b$ と表せる。

$P(x)$ を $x-2$ で割った余りが8であるから、剰余の定理より、

$P(2) = 8$

$P(2) = (2-2)(2+3)Q(2) + 2a + b = 2a + b$

よって、

$2a + b = 8$ ...(1)

$P(x)$ を $x+3$ で割った余りが-7であるから、剰余の定理より、

$P(-3) = -7$

$P(-3) = (-3-2)(-3+3)Q(-3) - 3a + b = -3a + b$

よって、

$-3a + b = -7$ ...(2)

(1) - (2)より、

$2a + b - (-3a + b) = 8 - (-7)$

$5a = 15$

$a = 3$

$a = 3$ を(1)に代入して、

$2(3) + b = 8$

$6 + b = 8$

$b = 2$

したがって、求める余りは $3x + 2$ である。

3. 最終的な答え

$3x + 2$