与えられた不等式 $x^2 + y^2 \geq 2(x + y - 1)$ を証明する。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $x^2 + y^2 \geq 2(x + y - 1)$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を左辺に移項し、式を整理する。

$x^2 + y^2 - 2(x + y - 1) \geq 0$

$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 \geq 0$

次に、この式を平方完成させる。

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + 2 \geq 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) - 1 - 1 + 2 \geq 0$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \geq 0$

ここで、実数の二乗は常に0以上であるという性質を用いる。

$(x - 1)^2 \geq 0$ かつ $(y - 1)^2 \geq 0$ であるため、

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \geq 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$(x-1)^2 + (y-1)^2 \geq 0$ は常に成り立つので、$x^2 + y^2 \geq 2(x + y - 1)$ は証明された。