$\sin \theta + \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式を利用します。

一般に、$a \sin \theta + b \cos \theta$ は

$r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形できます。

ここで、

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\cos \alpha = \frac{a}{r}$

$\sin \alpha = \frac{b}{r}$

とします。

与えられた式 $\sin \theta + \cos \theta$ を $1 \cdot \sin \theta + 1 \cdot \cos \theta$ と見ると、$a=1$、$b=1$ です。

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{4}$ です。

よって、$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$