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与えられた和の値を計算する問題です。 $$ \frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}} $$ を計算します。

代数学式の計算有理化平方根
2025/6/8

1. 問題の内容

与えられた和の値を計算する問題です。
\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}}
を計算します。

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化します。
11+3=1−3(1+3)(1−3)=1−31−3=1−3−2=3−12\frac{1}{1+\sqrt{3}} = \frac{1-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{1-\sqrt{3}}{1-3} = \frac{1-\sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}
13+5=3−5(3+5)(3−5)=3−53−5=3−5−2=5−32\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3-5} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}
15+7=5−7(5+7)(5−7)=5−75−7=5−7−2=7−52\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{5-7} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{-2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}
17+9=7−9(7+9)(7−9)=7−97−9=7−3−2=3−72\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{9}}{(\sqrt{7}+\sqrt{9})(\sqrt{7}-\sqrt{9})} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{9}}{7-9} = \frac{\sqrt{7}-3}{-2} = \frac{3-\sqrt{7}}{2}
したがって、
\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} + \frac{3-\sqrt{7}}{2}
= \frac{(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + (\sqrt{7}-\sqrt{5}) + (3-\sqrt{7})}{2} = \frac{-1+3}{2} = \frac{2}{2} = 1

3. 最終的な答え

1

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