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与えられた式を簡略化して、$y$を求める問題です。式は以下の通りです。 $y = \frac{\sqrt{x}}{(x-1)\sqrt{x} + 1}$

代数学式の簡略化分数式根号
2025/6/8

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化して、yyを求める問題です。式は以下の通りです。
y=x(x−1)x+1y = \frac{\sqrt{x}}{(x-1)\sqrt{x} + 1}

2. 解き方の手順

まず、分母に注目します。
(x−1)x+1=xx−x+1=(x)3−x+1(x-1)\sqrt{x} + 1 = x\sqrt{x} - \sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x})^3 - \sqrt{x} + 1
次に、式全体を整理します。
y=x(x)3−x+1y = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^3 - \sqrt{x} + 1}
ここで、x\sqrt{x} で割れるかどうかを考えます。分子が x\sqrt{x} なので、分母をx\sqrt{x}で割ることはできません。
与えられた式をそのままにしておくか、またはt=xt = \sqrt{x}と置換して考えることもできます。
y=tt3−t+1y = \frac{t}{t^3 - t + 1}
この形からこれ以上簡単にすることは難しいと考えられます。そのため、元の式を簡略化したものが最終的な答えとなります。

3. 最終的な答え

y=xxx−x+1y = \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - \sqrt{x} + 1}
または、
y=x(x−1)x+1y = \frac{\sqrt{x}}{(x-1)\sqrt{x} + 1}
あるいは、t=xt = \sqrt{x}とおいた場合、
y=tt3−t+1y = \frac{t}{t^3 - t + 1}

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